Plocha

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

\(F(x,y,z)=0</math>,

kde \(F</math> je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce \(F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

\(F(x,y,z)=0</math>

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

\(x=x(u,v)</math>

\(y=y(u,v)</math>

\(z=z(u,v)</math>

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž \(u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici \(u, v</math> z určitého oboru \(\Omega</math> nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na \(\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle \(u</math> a \(v</math>.

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

\(z=f(x,y)</math>,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy \(\mathbf{n}</math>, rádiusvektorem \(\mathbf{r}</math> a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou \(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů \(\mathbf{n}</math> a \(\mathbf{r}</math>.

\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>

\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>

\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>

\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>

kde \(E, F, G</math> jsou základní veličiny plochy prvního řádu a \(L, M, N</math> jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru \(\mathbf{r}</math>.

\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>

\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>

\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>

kde \(E, F, G</math> jsou základní veličiny plochy prvního řádu a \(L, M, N</math> jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu \(E, F, G</math> a základními veličinami plochy druhého řádu \(L, M, N</math>.

\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>

\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>

Vlastnosti

Zavedeme matici

\(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost \(h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice \(h<2</math>, pak jde o singulární body.

Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v \(\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost \(h=2</math>, pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

Externí odkazy

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 6: / Řádka 6: @@
 V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice|rovnici]]
-:<math>F(x,y,z)=0</math>,
+:<big>\(F(x,y,z)=0</math>,
-kde <math>F</math> je [[funkce (matematika)|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost|spojitou]] [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
+kde <big>\(F</math> je [[funkce (matematika)|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost|spojitou]] [[parciální derivace|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
 Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.
-Singulární bod, v němž funkce <math>F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.
+Singulární bod, v němž funkce <big>\(F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.
 Plocha určená svojí [[normála plochy|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.
@@ Řádka 19: / Řádka 19: @@
 === Implicitní rovnice plochy ===
 Implicitní rovnice plochy má tvar
-:<math>F(x,y,z)=0</math>
+:<big>\(F(x,y,z)=0</math>
 === Parametrické rovnice ===
 Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic|soustavou rovnic]]
-:<math>x=x(u,v)</math>
+:<big>\(x=x(u,v)</math>
-:<math>y=y(u,v)</math>
+:<big>\(y=y(u,v)</math>
-:<math>z=z(u,v)</math>
+:<big>\(z=z(u,v)</math>
-Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <math>u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <math>u, v</math> z určitého oboru <math>\Omega</math> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <math>\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <math>u</math> a <math>v</math>.
+Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>\(u, v</math> z určitého oboru <big>\(\Omega</math> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>\(\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>\(u</math> a <big>\(v</math>.
 === Explicitní rovnice plochy ===
 Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
-:<math>z=f(x,y)</math>,
+:<big>\(z=f(x,y)</math>,
 pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
 == Základní rovnice plochy ==
-Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <math>\mathbf{n}</math>, [[rádiusvektor]]em <math>\mathbf{r}</math> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.
+Vztahy mezi [[normála|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}</math>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}</math> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.
 {{Upravit}}
 === Weingartenovy rovnice plochy ===
-'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <math>\mathbf{n}</math> a <math>\mathbf{r}</math>.
+'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}</math> a <big>\(\mathbf{r}</math>.
-:<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
+:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
-:<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
+:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
 :
-:<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
+:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
-:<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
+:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
-kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
+kde <big>\(E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
 === Gaussovy rovnice plochy ===
-'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <math>\mathbf{r}</math>.
+'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}</math>.
-:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>
+:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>
-:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>
+:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>
-:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>
+:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>
-kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
+kde <big>\(E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy|základní veličiny plochy druhého řádu]].
 === Codazziho rovnice plochy ===
-'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <math>E, F, G</math> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <math>L, M, N</math>.
+'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G</math> a [[základní veličina plochy|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>\(L, M, N</math>.
-:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
+:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
-:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>
+:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>
 == Vlastnosti ==
 * Zavedeme [[matice|matici]]
-:<math>\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>
+:<big>\(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>
-Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <math>h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <math>h<2</math>, pak jde o singulární body.
+Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice|hodnost]] <big>\(h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>\(h<2</math>, pak jde o singulární body.
-* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <math>\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <math>h=2</math>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.
+* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>\(h=2</math>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.
 == Související články ==