Plocha

Z Multimediaexpo.cz

Plocha označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný geometrický útvar. Příkladem ploch jsou rovina, kulová plocha, povrch válce nebo kuželová plocha. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.

Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení geometrického útvaru, ale také pro označení obsahu geometrického útvaru.

Obsah

[skrýt]

1 Plochy v euklidovském prostoru
2 Základní rovnice plochy
3 Vlastnosti
4 Související články
5 Externí odkazy

Plochy v euklidovském prostoru

V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného euklidovského prostoru. Můžeme ji definovat jako množinu všech bodů, jejichž souřadnice vyhovují rovnici

F (x, y, z) = 0

,

kde $F$ je funkce, která má v každém bodě spojitou parciální derivaci alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají regulární body plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu nulové označujeme jako singulární body. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kužele.

Singulární bod, v němž funkce $F$ má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá kónický bod plochy.

Plocha určená svojí normálou se označuje jako orientovaná plocha.

Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.

Implicitní rovnice plochy

Implicitní rovnice plochy má tvar

F (x, y, z) = 0

Parametrické rovnice

Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny soustavou rovnic

x = x (u, v)

y = y (u, v)

z = z (u, v)

Tato soustava rovnic představuje parametrické vyjádření plochy, přičemž $u, v$ jsou parametry plochy. Každou dvojici $u, v$ z určitého oboru $Ω$ nazýváme bodem plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na $Ω$ spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle $u$ a $v$ .

Explicitní rovnice plochy

Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar

z = f (x, y)

,

pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

Základní rovnice plochy

Vztahy mezi normálou plochy $n$ , rádiusvektorem $r$ a jejich derivacemi určují tzv. základní rovnice plochy. Tyto rovnice lze pro plochu určenou $r = r (u, v)$ uvést v různých tvarech.

Tento článek potřebuje úpravy. Můžete Multimediaexpo.cz pomoci tím, že ho vylepšíte.
Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl a Encyklopedický styl.

Weingartenovy rovnice plochy

Weingartenovy rovnice plochy určují vztahy mezi derivacemi vektorů $n$ a $r$ .

\frac{\part n}{\part u} = \frac{F M - G L}{E G - F^{2}} \frac{\part r}{\part u} + \frac{F L - E M}{E G - F^{2}} \frac{\part r}{\part v}

\frac{\part n}{\part v} = \frac{F N - G M}{E G - F^{2}} \frac{\part r}{\part u} + \frac{F M - E N}{E G - F^{2}} \frac{\part r}{\part v}

\frac{\part r}{\part u} = \frac{M F - N E}{L N - M^{2}} \frac{\part n}{\part u} + \frac{M E - L F}{L N - M^{2}} \frac{\part n}{\part v}

\frac{\part r}{\part v} = \frac{M G - N F}{L N - M^{2}} \frac{\part n}{\part u} + \frac{M F - L G}{L N - M^{2}} \frac{\part n}{\part v}

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L, M, N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Gaussovy rovnice plochy

Gaussovy rovnice plochy umožňují určit druhou derivaci polohového vektoru $r$ .

\frac{\part^{2} r}{\part u^{2}} = \frac{G \frac{\part E}{\part u} - 2 F \frac{\part F}{\part u} + F \frac{\part E}{\part v}}{2 (E G - F^{2})} \frac{\part r}{\part u} + \frac{- F \frac{\part E}{\part u} + 2 E \frac{\part F}{\part u} - E \frac{\part E}{\part v}}{2 (E G - F^{2})} \frac{\part r}{\part v} + L n

\frac{\part^{2} r}{\part u \part v} = \frac{G \frac{\part E}{\part v} - F \frac{\part G}{\part u}}{2 (E G - F^{2})} \frac{\part r}{\part u} + \frac{E \frac{\part G}{\part u} - F \frac{\part E}{\part v}}{2 (E G - F^{2})} \frac{\part r}{\part v} + M n

\frac{\part^{2} r}{\part v^{2}} = \frac{- F \frac{\part G}{\part v} + 2 G \frac{\part F}{\part v} - G \frac{\part G}{\part u}}{2 (E G - F^{2})} \frac{\part r}{\part u} + \frac{E \frac{\part G}{\part v} - 2 F \frac{\part F}{\part v} + F \frac{\part G}{\part u}}{2 (E G - F^{2})} \frac{\part r}{\part v} + N n

kde $E, F, G$ jsou základní veličiny plochy prvního řádu a $L, M, N$ jsou základní veličiny plochy druhého řádu.

Codazziho rovnice plochy

Codazziho (nebo také Mainardiho) rovnice plochy určují vztahy mezi základními veličinami plochy prvního řádu $E, F, G$ a základními veličinami plochy druhého řádu $L, M, N$ .

(E G - 2 F^{2} + G E) (\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}) - (E N - 2 F M + G L) (\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}) + | \begin{matrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{matrix} | = 0

(E G - 2 F^{2} + G E) (\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}) - (E N - 2 F M + G L) (\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}) + | \begin{matrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{matrix} | = 0

Vlastnosti

Zavedeme matici

(\begin{matrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{matrix})

Body plochy, v nichž má tato matice hodnost $h = 2$ jsou regulárními body. Je-li hodnost matice $h < 2$ , pak jde o singulární body.

Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v $Ω$ nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost $h = 2$ , pak plochu označujeme jako hladkou.

Související články

Externí odkazy

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii