Normála

Z Multimediaexpo.cz

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu. Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů - tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy. Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.

Je-li rovina dána rovnicí $a x + b y + c z + d = 0$ , potom je její normálový vektor n roven $(a, b, c)$ . Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

x = x (r, s),

y = y (r, s),

z = z (r, s),

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

n = \frac{\partial r}{\partial r} \times \frac{\partial r}{\partial s} = | \begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}, & \frac{\partial y}{\partial r}, & \frac{\partial z}{\partial r} \\ \frac{\partial x}{\partial s}, & \frac{\partial y}{\partial s}, & \frac{\partial z}{\partial s} \\ e_{1}, & e_{2}, & e_{3} \end{matrix} |,

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

n = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{1}}, & \dots, & \frac{\partial x_{n}}{\partial p_{1}} \\ \dots, & \dots, & \dots \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial p_{n - 1}}, & \dots, & \frac{\partial x_{n}}{\partial p_{n - 1}} \\ e_{1}, & \dots, & m a t h b f e_{n} \end{matrix} |,

kde $p_{1}, \dots, p_{n - 1}$ jsou parametry plochy. Je-li plocha dána jako množina bodů $(x, y, z)$ splňujících rovnici : $F (x, y, z) = 0$ , potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

n = \nabla F (x, y, z)

.

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $r = r (s)$ , kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $t$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě. Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem $\frac{d t}{d s}$ . Jednotkový vektor $n$ , který má stejný směr jako vektor $\frac{d t}{d s}$ , se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí $\frac{d^{2} t}{d s^{2}} \neq 0$ . Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

n = \frac{1}{k_{1}} \frac{d t}{d s} = \frac{1}{k_{1}} \frac{d^{2} r}{d s^{2}}

,

kde $k_{1}$ je tzv. první křivost. Vektory $t$ a $n$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $t \cdot n = 0$ . Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$ , ale obecný parametr $t$ , tzn. křivka je dána rovnicí $r = r (t)$ , pak je jednotkový normálový vektor $n$ dán vztahem

n = \frac{\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t}}{\sqrt{(\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t}) \cdot (\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t})}}

,

kde $c = \frac{1}{\sqrt{\frac{d r}{d t} \cdot \frac{d r}{d t}}} = \frac{1}{\frac{d s}{d t}}$ pokud platí $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} \neq 0$ a $\frac{d^{2} r}{d t^{2}} c + \frac{d r}{d t} \frac{d c}{d t} \neq 0$ .

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii