Divergence

Z Multimediaexpo.cz

Vektorové pole na obrázku má kladnou divergenci, protože tok ven převažuje a tato vlastnost zůstane i po limitním stažení kruhu do bodu.

Tento článek je o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce: Divergence (rozcestník).

Ve vektorovém počtu je divergence diferenciální operátor udávající zřídlovost vektorového pole. Udává, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně. Je-li např. zkoumaným polem tok tepla, potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká teplo, záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

V praktických aplikacích divergence figuruje v rovnici kontiniuty a používá se tak k modelování vedení tepla, difuze, proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů..

Ve vektorové analýze divergenci využívá Gaussova věta, která převádí výpočet toku vektorového pole uzavřenou plochou na výpočet integrálu divergence daného vektorového pole přes objem plochou uzavřený.

Definice

Jsou-li \(x\), \(y\), \(z\) kartézské souřadnice v 3-rozměrném Eukleidovském prostoru, a \(e_x\), \(e_y\), \(e_z\) je odpovídající báze jednotkových vektorů, a

\(\mathbf{F} = F_x \mathbf{e}_x+F_y \mathbf{e}_y+F_z \mathbf{e}_z\)

je spojitě diferencovatelné vektorové pole, potom jeho divergenci označujeme \(\operatorname{div}{}\mathbf{F}\) nebo \(\nabla\cdot\mathbf{F}\) a definujeme jako skalární veličinu

\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}. \)

Přestože je divergence definována v kartézských souřadnicích, jde o invariantní veličinu, která nabývá stejných hodnot ve všech souřadných soustavách.

V n-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit prostřednictvím skalárního součinu operátoru nabla a vektoru \(\mathbf{v}\), tzn.

\(\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial v_k}{\partial x_k} = \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n}\).

S využitím Einsteinova sumačního pravidla můžeme psát zkráceně

\(\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_i}{\partial x_i}.\)

Derivací tenzoru \(\mathbf{T}\) \(n\)-tého řádu dostaneme tenzor řádu \(n+1\) se složkami \(\frac{\partial \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\partial x_t}\). Kontrakcí indexu \(t\) proti indexu \(s\) získáme divergenci tenzoru \(\mathbf{T}\), což je tenzor řádu \(n-1\).

\(\mathbf{D}_{ij\cdots r} = \frac{\partial \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\partial x_s}\)

Divergence tedy snižuje řád tenzoru o jedničku, např. divergencí vektoru získáme skalár.

Vlastnosti

Označíme-li \(\mathbf F\), \(\mathbf G\) vektorová pole, \(f\) skalární pole, \(a\), \(b\) reálná čísla, potom operátor divergence splňuje následující identity: Je lineární vůči reálným číslům

\(\nabla\cdot( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\nabla\cdot \mathbf{F}+ b\;\nabla\cdot \mathbf{G}, \)

aplikována na součin funkce a vektorového pole splňuje identitu

\(\nabla\cdot(f \mathbf{F}) = \nabla f \cdot \mathbf{F} + f \;\nabla\cdot\mathbf{F} = \mathrm{grad}f\cdot\mathbf{F} + f \; \mathrm{div}\mathbf{F}\).

Pro divergenci vektorového součinu platí

\(\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G})\),

kde \(\nabla \times \mathbf F\) je rotace \(\mathbf F\).

Divergence rotace je rovna nule:

\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = 0\).

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Následující vztahy udávají vyjádření divergence v nejrůznějších souřadných soustavách v trojrozměrném prostoru. Je-li \(F\) vektorové pole v daných souřadnicích, pak platí

Ve válcových souřadnicích má operátor divergence tvar

\(\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r ) \over \partial r} + {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial F_z \over \partial z}.\)

Ve sférických souřadnicích má operátor divergence tvar

\(\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} ( F_\theta\sin\theta ) + {1 \over r\sin\theta}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}.\)

V obecných ortogonálních souřadnicích má divergence s využitím Laméových koeficientů \(h_1\),\(h_2\),\(h_3\) tvar

\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left(\frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial q_1} +\frac{\partial \left(h_1 h_3 F_2\right)}{\partial q_2} +\frac{\partial \left(h_1 h_2 F_3\right)}{\partial q_3} \right).\)

Ve zcela obecných souřadnicích (viz také Souřadnicový zápis vektorů) pro složky vektoru divergence platí

\(\nabla_{\underline{m}} \left({F}^k \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^k} \right) = {F^k}_{;k} = {F^k}_{,k} + {\Gamma^{i}}_{ij}{F^j}.\)

Úmluva: Zatímco v předchozím textu jsme za bázi brali ortonormální bázi v daných souřadnicích, ve vzorci v obecných souřadnicích používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v obecných souřadnicích polohu indexů důsledně rozlišujeme.

Související články

• Parciální derivace
• Nabla

Externí odkazy