Skalární součin

Z Multimediaexpo.cz

Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají.

Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako bilineární zobrazení

V \times V \to R

resp.

V \times V \to C

, kde

V

je vektorový prostor nad číselným tělesem

R

resp.

C

,

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = | a | | b | \cos α

,

kde $α$ je úhel sevřený vektory a a b.

Obsah

[skrýt]

1 Způsob zápisu
2 Definice
3 Vlastnosti
4 Příklady skalárních součinů
5 Příklad výpočtu skalárního součinu
6 Související články
7 Externí odkazy

Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

$u \cdot v$ – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
$⟨ u, v ⟩$ – značení běžné ve funkcionální analýze.
$(u, v)$ – starší značení, dnes již méně používané.
$b (u, v)$ – b jako bilineární forma
$⟨ v ∣ u ⟩$ – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna $u, v, w \in V$ a všechna $a \in T$ následující podmínky:

$(u, v) = \overset{―}{(v, u)}$
$(u + v, w) = (u, w) + (v, w)$
$(a u, v) = a (u, v)$
$(v, v) \geq 0$
$(v, v) = 0 ⟺ v = 0$

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí $\overset{―}{x} = x .$

Vlastnosti

Geometrická interpretace skalárního součinu

v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.

(u, v) = (v, u)

ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí

(u, v) = \overset{―}{(v, u)}

pro komplexní a platí

(u, a v) = \overset{―}{a} (u, v)

vektory u, v nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah

(u, v) = 0

jestliže množina ${e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}}$ vyhovuje vztahu

(e_{j}, e_{k}) = δ_{j k}

, kde

δ_{j k}

je Kroneckerovo delta,

pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.

pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.

norma generovaná skalárním součinem:

‖ v ‖ = \sqrt{(v, v)}

z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.

u \cdot v = ‖ u ‖ ‖ v ‖ \cos α

,

kde

α

je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů

pro dva vektory $u = \sum_{i = 1}^{n} u^{i} e_{i}, v = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} e_{i}$

(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi

e

) lze skalární součin definovat jako

(u, v) = \sum_{i, j = 1}^{n} (e_{i}, e_{j}) u^{i} \overset{―}{v^{j}} = \sum_{i, j = 1}^{n} g_{i j} u^{i} \overset{―}{v^{j}}

,

kde

g_{i j} = (e_{i}, e_{j})

je metrický tenzor (v tomto případě matice).

pro dvě posloupnosti $a, b : N \to C$ můžeme definovat skalární součin jako řadu

(a, b) = \sum_{i = 0}^{\infty} a_{i} \overset{―}{b_{i}}

pokud řada konverguje.

skalární součin funkcí $(f, g) = \int_{a}^{b} f (x) \cdot \overset{―}{g (x)} d x$ pokud integrál konverguje. (meze integrace jsou obvykle $0, \pm \infty, \pm 1, \pm π$ )

Příklad výpočtu skalárního součinu

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32

.

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Skalární součin

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii