Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...FFresh emotion happy.png

Rovina

Z Multimediaexpo.cz


Rovina je v matematice dvourozměrný geometrický útvar, který si lze představit jako neomezenou dokonale rovnou plochu. Algebraicky vyjádřeno, jde o množinu bodů izomorfní s dvoudimenzionálním lineárním prostorem. Rovina může být určena třemi různými body, nebo přímkou a bodem, který leží mimo tuto přímku.

Obsah

[skrýt]

Značení

Rovina je buď plocha, na kterou se kreslí (nákresna), nebo se znázorňuje některým rovinným útvarem pomocí některého geometrických promítání. Rovina se označuje malým řeckým písmenem. Znázornění: Zobrazení roviny

Rovnice roviny

Rovina je množina bodů prostoru, které vyhovují tzv. rovnici roviny, která může být zadána v různých tvarech.

Obecná rovnice roviny

Obecná rovnice roviny má tvar

<math>ax+by+cz+d=0\,\!</math>,

kde koeficienty <math>a,\,b,\,c\,\!</math> nejsou současně nulové a jsou to koeficienty normálového vektoru roviny (vektoru kolmého k rovině). Proměnné <math>x,\,y,\,z\,\!</math> jsou souřadnice bodu ležícího v rovině. V případě, že známe tři body <math>K,\,L,\,M</math> určující rovinu, obecnou rovnici roviny získáme takto: spočteme vektory <math>\overrightarrow{KL}</math> a <math>\overrightarrow{KM}</math>, vypočítáme jejich Vektorový součin ze kterého získáme koeficienty <math>a,\,b,\,c\,\!</math> a napíšeme obecnou rovnici. Zbývající koeficient d získáme tak, že dosadíme souřadnice bodu K (nebo kteréhokoli jiného bodu ze zadání) do napsané rovnice.

Parametrické vyjádření roviny

Parametrické vyjádření roviny má například vektorový tvar <math>X=A+t u + s v\,\!</math>, který se dá rozepsat dle složek takto:

<math>x=A_1+t u_1+s v_1\,\!</math>
<math>y=A_2+t u_2+s v_2\,\!</math>
<math>z=A_3+t u_3+s v_3\,\!</math>,

kde <math>s,\,t \in R\,\!</math> a <math>X\,\!</math> je bod, který leží v rovině a vektory <math>u\,\!</math> a <math>v\,\!</math> jsou nekolineární vektory ležící v rovině, tzn. jsou to směrové vektory roviny.

Úseková rovnice roviny

Úsekovou rovnici roviny zapisujeme jako

<math>\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 1</math>,

kde <math>p,\,q,\,r</math> vymezují úseky vyťaté rovinou na osách <math>x,\,y,\,z\,\!</math>. Srovnáním úsekové a obecné rovnice dostáváme <math>p = -\frac{d}{a},\,q = -\frac{d}{b},\,r = -\frac{d}{c}\,\!</math>.

Normálová rovnice roviny

Normálová rovnice roviny má tvar

<math>x\cos\alpha + y\cos\beta + z\cos\gamma + p = 0\,\!</math>,

kde <math>p\,\!</math> je vzdálenost počátku souřadného systému od roviny, tj. délka normály od počátku souřadnicového systému do průsečíku s rovinou,
<math>\cos\alpha,\,\cos\beta,\,\cos\gamma\,\!</math> jsou směrové kosiny roviny,
<math>\alpha,\,\beta,\,\gamma\,\!</math> představují úhly, které svírají kladné souřadnicové poloosy s normálou roviny.
Normála je směrnice kolmá ve všech směrech k rovině.
Směrové kosiny lze vyjádřit z obecné rovnice jako

<math>\cos\alpha = \frac{a}{\varepsilon\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
<math>\cos\beta = \frac{b}{\varepsilon\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
<math>\cos\gamma = \frac{c}{\varepsilon\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>

kde <math>\varepsilon=1\,\!</math> pro <math>\sgn (p) = -1\,\!</math> a pro <math>\varepsilon=-1\,\!</math> pro <math>\sgn (p)=1\,\!</math>.

Rovinný řez

Rovinným řezem geometrického útvaru <math>U</math> rovinou <math>\rho</math> se nazývá průnik roviny <math>\rho</math> a útvaru <math>U</math>. Rovinný řez plochy rovinou, ve které leží normála plochy, se nazývá normálovým řezem plochy.

Související články

Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Rovina“