Skalár

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Termín skalár se používá ve fyzice, matematice a informatice. Označuje veličinu, která je s ohledem na zvolenou jednotku plně určená jediným číselným údajem. Protikladem skalární veličiny jsou vektory nebo tenzory, které jsou určeny více číselnými hodnotami.

Oblasti použití

V matematice a označuje skalár jediné zpravidla reálné či komplexní číslo, neskalární charakter mají kromě vektorů také matice a tenzory.
Ve fyzice je skalár veličina, která může být popsána jedním číslem. To znamená, že popisovaná veličina je jednorozměrná – skalární veličiny tedy mají svou velikost, ale nemají směr. Vícerozměrné veličiny se popisují pomocí vektorů.
V informatice se používá hlavně pojem skalární proměnné, který popisuje proměnnou bez podstatné vnitřní struktury. Protikladem jsou pole apod.

Příklady skalárních veličin

Vlastnosti

Ve fyzice se předpokládá, že danou skalární veličinu můžeme nějak fyzikálně měřit nebo počítat. Měla by přitom platit následující vlastnost: pokud přejdeme k nové souřadnicové soustave, která bude vůči původní otočená, posunutá nebo zrcadlená (v klasické mechanice) resp. bude s původní soustavou spojena nějakou Poincarého transformací (ve speciální relativitě), měl by transformovaný pozorvatel stejným postupem změřit nebo spočíst to samé číslo. Pokud bychom tedy psali skalár jako „funkci“ souřednicové soustavy pozorovatele, má smysl psát, že pokud se souřadnice transformují podle vztahu \(\{x_i^\prime\}_i = \psi \{x_i\}_i\), kde \(\psi\) symetrie dané fyzikální teorie (t.j. například rotace v klasické fyzice), tak pro skalár S platí \(S(\{x_i^\prime\}_i) = S(\{x_i\}_i).\) Hodnota skalární veličiny tedy nezávisí (říkáme, že je invariantní) na volbě souřadnicové soustavy. To může být důležité při počítání v souřadnicích: například v klasické fyzice výraz \(x_1^2+x_2^2+x_3^2\) je skalár, kdežto \(2x_1^2+x_2^2+x_3^2\) není. Skalární veličina může mít i rozměr. Velikost skalární veličiny pak závisí na volbě jednotek. Zvolíme-li např. jako jednotku metry, dostaneme jinou číselnou hodnotu délky než v případě, kdy měříme v mílích. Vzhledm k tomu, že skalární veličiny jsou čísla, lze s nimi provádět stejné operace jako s čísly, pokud jsou bezrozměrné. Pokud mají rozměr, můžu sčítat jenom veličiny se stejným rozměrem (délku s délkou, náboj s nábojem a pod.)

Pravý a nepravý skalár

Skalár popsaný v předešlém odstavci se nazývá pravý skalár, pokud se nemění nejen při rotacích a translacích souřadnicové soustavy , ale ani při zrcadlení. Pro pravý skalár tedy speciálně v 3-rozměrném Euklidovském prostoru platí \(S(\{- x_i\}_i) = S(\{x_i\}_i) \,\), kde levá strana symbolizuje výpočet skaláru v souřednicové soustavě spojené s původní soustavou \(\{x_i\}\) prostorovou inverzí. Skalární veličinu, která je invariantní při rotacích a translacích souřadnicové soustavy, ale při zrcadlení změní znaménko, označujeme jako pseudoskalár (nepravý skalár). Je to tedy veličina, jejíž znaménko závisí na volbě orientace daného prostoru. Speciálně v euklidovském prostoru dimenze 3 (nebo obecněji liché dimenze) pak platí \(S(\{- x_i\}_i) = - S(\{x_i\}_i)\,\). Tento koncept je možno matematicky formulovat například tak, že je dán vektorový prostor V se skalárním součinem (v klasické fyzice by to byl euklidovský prostor, ve speciální relativitě Minkowského prostor) dimenze n a pseudoskalár je pak prvkem n-té vnější mocniny \(\wedge^n \mathbf{V}\). Tento prvek se pak dá ztotožnit s číslem pomocí Hodgeovy duality za přepokladu skalárního součinu a orientace na V. Příkladem pravého skaláru je ve fyzice elektrický náboj, příkladem pseudoskaláru je magnetický tok (je skalárním součinem vektoru plochy a pseudovektoru magnetické indukce), anebo determinant 3 vektoru v prostoru.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 13: / Řádka 13: @@
 *[[energie]]
 ==Vlastnosti==
-Ve fyzice se předpokládá, že danou skalární veličinu můžeme nějak fyzikálně [[měření|měřit]] nebo počítat. Měla by přitom platit následující vlastnost: pokud přejdeme k nové souřadnicové soustave, která bude vůči původní [[rotace|otočená]], posunutá nebo zrcadlená (v [[klasická mechanika|klasické mechanice]]) resp. bude s původní soustavou spojena nějakou [[Poincarého transformace|Poincarého transformací]] (ve [[speciální relativita|speciální relativitě]]), měl by transformovaný pozorvatel stejným postupem změřit nebo spočíst to samé číslo. Pokud bychom tedy psali skalár jako „funkci“ souřednicové soustavy pozorovatele, má smysl psát, že pokud se souřadnice transformují podle vztahu  <math>\{x_i^\prime\}_i = \psi \{x_i\}_i</math>, kde <math>\psi</math> [[symetrie]] dané [[fyzikální teorie]] (t.j. například rotace v klasické fyzice), tak pro skalár S platí <math>S(\{x_i^\prime\}_i) = S(\{x_i\}_i).</math> Hodnota skalární veličiny tedy nezávisí (říkáme, že je [[invariance|invariantní]]) na volbě [[soustava souřadnic|souřadnicové soustavy]]. To může být důležité při počítání v souřadnicích: například v klasické fyzice výraz <math>x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> je skalár, kdežto <math>2x_1^2+x_2^2+x_3^2</math> není.
+Ve fyzice se předpokládá, že danou skalární veličinu můžeme nějak fyzikálně [[měření|měřit]] nebo počítat. Měla by přitom platit následující vlastnost: pokud přejdeme k nové souřadnicové soustave, která bude vůči původní [[rotace|otočená]], posunutá nebo zrcadlená (v [[klasická mechanika|klasické mechanice]]) resp. bude s původní soustavou spojena nějakou [[Poincarého transformace|Poincarého transformací]] (ve [[speciální relativita|speciální relativitě]]), měl by transformovaný pozorvatel stejným postupem změřit nebo spočíst to samé číslo. Pokud bychom tedy psali skalár jako „funkci“ souřednicové soustavy pozorovatele, má smysl psát, že pokud se souřadnice transformují podle vztahu  <big>\(\{x_i^\prime\}_i = \psi \{x_i\}_i\)</big>, kde <big>\(\psi\)</big> [[symetrie]] dané [[fyzikální teorie]] (t.j. například rotace v klasické fyzice), tak pro skalár S platí <big>\(S(\{x_i^\prime\}_i) = S(\{x_i\}_i).\)</big> Hodnota skalární veličiny tedy nezávisí (říkáme, že je [[invariance|invariantní]]) na volbě [[soustava souřadnic|souřadnicové soustavy]]. To může být důležité při počítání v souřadnicích: například v klasické fyzice výraz <big>\(x_1^2+x_2^2+x_3^2\)</big> je skalár, kdežto <big>\(2x_1^2+x_2^2+x_3^2\)</big> není.
 Skalární veličina může mít i rozměr. Velikost skalární veličiny pak závisí na volbě jednotek. Zvolíme-li např. jako jednotku [[metr]]y, dostaneme jinou číselnou hodnotu délky než v případě, kdy měříme v [[míle|mílích]].
 Vzhledm k tomu, že skalární veličiny jsou čísla, lze s nimi provádět stejné [[operace (matematika)|operace]] jako s čísly, pokud jsou bezrozměrné. Pokud mají rozměr, můžu sčítat jenom veličiny se stejným rozměrem ([[délka|délku]] s délkou, [[náboj]] s nábojem a pod.)
 ==Pravý a nepravý skalár==
-Skalár popsaný v předešlém odstavci se nazývá pravý skalár, pokud se nemění nejen při [[rotace souřadnic|rotacích]] a [[translace (souřadnice)|translacích]] souřadnicové soustavy , ale ani při zrcadlení. Pro pravý skalár tedy speciálně v 3-rozměrném [[euklidovský prostor|Euklidovském prostoru]] platí <math>S(\{- x_i\}_i) = S(\{x_i\}_i) \,</math>, kde levá strana symbolizuje výpočet skaláru v souřednicové soustavě spojené s původní soustavou <math>\{x_i\}</math> [[prostorová inverze|prostorovou inverzí]].
+Skalár popsaný v předešlém odstavci se nazývá pravý skalár, pokud se nemění nejen při [[rotace souřadnic|rotacích]] a [[translace (souřadnice)|translacích]] souřadnicové soustavy , ale ani při zrcadlení. Pro pravý skalár tedy speciálně v 3-rozměrném [[euklidovský prostor|Euklidovském prostoru]] platí <big>\(S(\{- x_i\}_i) = S(\{x_i\}_i) \,\)</big>, kde levá strana symbolizuje výpočet skaláru v souřednicové soustavě spojené s původní soustavou <big>\(\{x_i\}\)</big> [[prostorová inverze|prostorovou inverzí]].
-Skalární veličinu, která je invariantní při rotacích a translacích souřadnicové soustavy, ale při zrcadlení změní [[Znaménka plus a minus|znaménko]], označujeme jako '''pseudoskalár''' ('''nepravý skalár'''). Je to tedy veličina, jejíž znaménko závisí na volbě [[orientace]] daného prostoru. Speciálně v euklidovském prostoru [[dimenze]] 3 (nebo obecněji [[liché číslo|liché]] dimenze) pak platí <math>S(\{- x_i\}_i) = - S(\{x_i\}_i)\,</math>.
+Skalární veličinu, která je invariantní při rotacích a translacích souřadnicové soustavy, ale při zrcadlení změní [[Znaménka plus a minus|znaménko]], označujeme jako '''pseudoskalár''' ('''nepravý skalár'''). Je to tedy veličina, jejíž znaménko závisí na volbě [[orientace]] daného prostoru. Speciálně v euklidovském prostoru [[dimenze]] 3 (nebo obecněji [[liché číslo|liché]] dimenze) pak platí <big>\(S(\{- x_i\}_i) = - S(\{x_i\}_i)\,\)</big>.
-Tento koncept je možno matematicky formulovat například tak, že je dán [[vektorový prostor]] '''V''' se skalárním součinem (v klasické fyzice by to byl [[euklidovský prostor]], ve speciální relativitě [[Minkowského prostor]]) dimenze ''n'' a pseudoskalár je pak prvkem ''n''-té vnější mocniny <math>\wedge^n \mathbf{V}</math>. Tento prvek se pak dá ztotožnit s číslem pomocí [[Hodgeova dualita|Hodgeovy duality]] za přepokladu skalárního součinu a orientace na '''V'''.
+Tento koncept je možno matematicky formulovat například tak, že je dán [[vektorový prostor]] '''V''' se skalárním součinem (v klasické fyzice by to byl [[euklidovský prostor]], ve speciální relativitě [[Minkowského prostor]]) dimenze ''n'' a pseudoskalár je pak prvkem ''n''-té vnější mocniny <big>\(\wedge^n \mathbf{V}\)</big>. Tento prvek se pak dá ztotožnit s číslem pomocí [[Hodgeova dualita|Hodgeovy duality]] za přepokladu skalárního součinu a orientace na '''V'''.
 Příkladem pravého skaláru je ve [[fyzika|fyzice]] [[elektrický náboj]], příkladem pseudoskaláru je [[magnetický tok]] (je [[skalární součin|skalárním součinem]] [[vektor]]u [[plocha|plochy]] a [[pseudovektor]]u [[magnetická indukce|magnetické indukce]]), anebo [[determinant]] 3 vektoru v prostoru.
 ==Související články==