Kleinova-Gordonova rovnice

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Kleinova-Gordonova rovnice je pohybová rovnice v jedné z relativistických formulací kvantové mechaniky. Je pojmenována po Oskaru Kleinovi a Walteru Gordonovi, nezávisle na nich ji ale odvodil také Vladimir Alexandrovič Fok. Popisuje chování částic s nulovým spinem (tzv. skalární mezony). Jde o parciální diferenciální rovnici druhého řádu.

\(\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0\)

Zde \(m\) je klidová hmotnost částice, \(c\) je rychlost světla ve vakuu, \(\hbar\) je redukovaná Planckova konstanta, \(\psi\) je vlnová funkce a \(\square\) je d'Alembertův operátor obsahující druhé parciální derivace podle času a kartézských souřadnic polohy.

\(\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}\)

(\(\Delta=\nabla\cdot\nabla\) je Laplaceův operátor, \(\nabla\) je operátor nabla, tečka značí skalární součin.)

Motivace

Důvodem k náhradě Schrödingerovy rovnice jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje speciální teorii relativity. Proto nemůže být správná v situacích, kdy rychlosti částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro Hamiltonián

\(\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V\)

vychází z newtonovského výrazu pro kinetickou energii \(T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)\), který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči Lorentzovým transformacím.

Odvození

Energie ve speciální relativitě je dána velikostí čtyřvektoru energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je

\(E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,\)

kde \(m\) je klidová hmotnost částice, \(\mathbf{p}\) je vektor hybnosti a \(c\) je rychlost světla ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro energii a hybnost do tohoto vztahu.

\(\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}\)

\(\hat{p} = -i\hbar\nabla\)

(Konstanta \(i\) je imaginární jednotka.) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:

\(-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.\)

Rovnici vydělíme \(\hbar^2c^2\), odečteme pravou stranu a získáme

\(\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,\)

kde je na levé straně již vidět působení operátoru \(\square\) na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.

Při přechodu do jiné inerciální vztažné soustavy, čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako skalár, tedy právě jako konstanta \(\left(mc/\hbar\right)^2\), kde \(m\) je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.

V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze x-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je \(\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)\) a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar

\({\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.\)

Problémy

Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako počáteční podmínku zadat nejen vlnovou funkci \(\psi\left(\mathbf{r},t\right)\) v okamžiku \(t=t_0\), ale zároveň i její derivaci \(\partial\psi/\partial t\). V důsledku z toho také plyne, že veličina

\(\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,\)

která by měla odpovídat hustotě pravděpodobnosti, může nabývat i záporných hodnot. To vedlo Paula Diraca ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme Diracova rovnice. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci antihmoty a také zcela novou fyzikální veličinu (spin), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.

Související články

Externí odkazy

Kleinova-Gordonova rovnice v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
 '''Kleinova-Gordonova rovnice''' je [[pohybová rovnice]] v jedné z [[speciální teorie relativity|relativistických]] formulací [[kvantová mechanika|kvantové mechaniky]]. Je pojmenována po [[Oskar Klein|Oskaru Kleinovi]] a [[Walter Gordon|Walteru Gordonovi]], nezávisle na nich ji ale odvodil také [[Vladimir Alexandrovič Fok]]. Popisuje chování částic s nulovým [[spin]]em (tzv. skalární [[mezon]]y). Jde o parciální [[diferenciální rovnice|diferenciální rovnici]] druhého řádu.
-:<math>\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0</math>
+:<big>\(\left( \square - {m^2c^2\over\hbar^2} \right)\psi = 0\)</big>
-Zde <math>m</math> je klidová [[hmotnost]] částice, <math>c</math> je [[rychlost světla]] ve vakuu, <math>\hbar</math> je redukovaná [[Planckova konstanta]], <math>\psi</math> je [[vlnová funkce]] a <math>\square</math> je [[d'Alembertův operátor]] obsahující druhé [[parciální derivace]] podle času a kartézských souřadnic polohy.
+Zde <big>\(m\)</big> je klidová [[hmotnost]] částice, <big>\(c\)</big> je [[rychlost světla]] ve vakuu, <big>\(\hbar\)</big> je redukovaná [[Planckova konstanta]], <big>\(\psi\)</big> je [[vlnová funkce]] a <big>\(\square\)</big> je [[d'Alembertův operátor]] obsahující druhé [[parciální derivace]] podle času a kartézských souřadnic polohy.
-: <math>\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}</math>
+: <big>\(\square = \Delta - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}={\partial^2\over\partial x^2} + {\partial^2\over\partial y^2} + {\partial^2\over\partial z^2} - {1\over c^2}{\partial^2\over\partial t^2}\)</big>
-(<math>\Delta=\nabla\cdot\nabla</math> je [[Laplaceův operátor]], <math>\nabla</math> je operátor [[nabla]], tečka značí [[skalární součin]].)
+(<big>\(\Delta=\nabla\cdot\nabla\)</big> je [[Laplaceův operátor]], <big>\(\nabla\)</big> je operátor [[nabla]], tečka značí [[skalární součin]].)
 == Motivace ==
 Důvodem k náhradě [[Schrödingerova rovnice|Schrödingerovy rovnice]] jinou pohybovou rovnicí je fakt, že nezohledňuje [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]]. Proto nemůže být správná v situacích, kdy [[rychlost]]i částic jsou řádově srovnatelné s rychlostí světla ve vakuu. Vztah pro [[Hamiltonián]]
-:<math>\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V</math>
+:<big>\(\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} ={\hat{\mathbf{p}}^2\over 2m}+V\)</big>
-vychází z [[Newtonova mechanika|newtonovského]] výrazu pro [[kinetická energie|kinetickou energii]] <math>T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)</math>, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči [[Lorentzovy transformace|Lorentzovým transformacím]].
+vychází z [[Newtonova mechanika|newtonovského]] výrazu pro [[kinetická energie|kinetickou energii]] <big>\(T = m\mathbf{v}^2/2 = \mathbf{p}^2/\left(2m\right)\)</big>, který při velkých rychlostech neplatí. Navíc Schrödingerova rovnice obsahuje první parciální derivaci vlnové funkce podle času a druhé derivace podle prostorových souřadnic, takže není invariantní vůči [[Lorentzovy transformace|Lorentzovým transformacím]].
 == Odvození ==
 Energie ve speciální relativitě je dána velikostí [[čtyřvektor]]u energie-hybnosti. Druhá mocnina jeho velikosti je
-:<math>E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,</math>
+:<big>\(E^2=c^2\mathbf{p}^2+m^2c^4\,,\)</big>
-kde <math>m</math> je klidová [[hmotnost]] částice, <math>\mathbf{p}</math> je [[vektor]] hybnosti a <math>c</math> je [[rychlost světla]] ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro [[energie|energii]] a [[hybnost]] do tohoto vztahu.
+kde <big>\(m\)</big> je klidová [[hmotnost]] částice, <big>\(\mathbf{p}\)</big> je [[vektor]] hybnosti a <big>\(c\)</big> je [[rychlost světla]] ve vakuu. Kleinovu-Gordonovu rovnici dostaneme dosazením kvantových operátorů pro [[energie|energii]] a [[hybnost]] do tohoto vztahu.
-:<math>\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}</math>
+:<big>\(\hat{E} = i\hbar {\partial\over\partial t}\)</big>
-:<math>\hat{p} = -i\hbar\nabla</math>
+:<big>\(\hat{p} = -i\hbar\nabla\)</big>
-(Konstanta <math>i</math> je [[imaginární jednotka]].) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:
+(Konstanta <big>\(i\)</big> je [[imaginární jednotka]].) Rovnost operátorů chápeme ve smyslu stejného působení na vlnovou funkci a dostáváme:
-:<math>-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.</math>
+:<big>\(-\hbar^2{\partial^2\psi\over\partial t^2} = -\hbar^2c^2\Delta\psi + m^2c^4\psi\,.\)</big>
-Rovnici vydělíme <math>\hbar^2c^2</math>, odečteme pravou stranu a získáme
+Rovnici vydělíme <big>\(\hbar^2c^2\)</big>, odečteme pravou stranu a získáme
-:<math>\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,</math>
+:<big>\(\Delta\psi-{1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} - {m^2c^2\over\hbar^2}\psi = 0\,,\)</big>
-kde je na levé straně již vidět působení operátoru <math>\square</math> na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.
+kde je na levé straně již vidět působení operátoru <big>\(\square\)</big> na vlnovou funkci. Obdrželi jsme tedy Kleinovu-Gordonovu rovnici.
-Při přechodu do jiné [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavy]], čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako [[skalár]], tedy právě jako konstanta <math>\left(mc/\hbar\right)^2</math>, kde <math>m</math> je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.
+Při přechodu do jiné [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavy]], čili pri Lorentzových transformacích, se d'Alembertův operátor chová jako [[skalár]], tedy právě jako konstanta <big>\(\left(mc/\hbar\right)^2\)</big>, kde <big>\(m\)</big> je klidová hmotnost. Rovnice je tedy v souladu se speciální teorií relativity a z tohoto hlediska správně popisuje chování vlnové funkce.
-V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze ''x''-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je <math>\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)</math> a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar
+V jednorozměrném případě stačí vzít v úvahu pouze ''x''-ovou část vektoru hybnosti. Příslušný operátor je <big>\(\hat{p_x} = -i\hbar\left(\partial/\partial x\right)\)</big> a Kleinova-Gordonova rovnice přejde na tvar
-:<math>{\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.</math>
+:<big>\({\partial^2\psi\over\partial x^2} - {1\over c^2}{\partial^2\psi\over\partial t^2} = {m^2c^2\over\hbar^2}\psi \,.\)</big>
 == Problémy ==
-Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako [[počáteční podmínky|počáteční podmínku]] zadat nejen vlnovou funkci <math>\psi\left(\mathbf{r},t\right)</math> v okamžiku <math>t=t_0</math>, ale zároveň i její [[derivace|derivaci]] <math>\partial\psi/\partial t</math>. V důsledku z toho také plyne, že veličina
+Kleinova-Gordonova rovnice je rovnicí druhého řádu v čase. To znamená, že pro její řešení je nutné jako [[počáteční podmínky|počáteční podmínku]] zadat nejen vlnovou funkci <big>\(\psi\left(\mathbf{r},t\right)\)</big> v okamžiku <big>\(t=t_0\)</big>, ale zároveň i její [[derivace|derivaci]] <big>\(\partial\psi/\partial t\)</big>. V důsledku z toho také plyne, že veličina
-:<math>\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,</math>
+:<big>\(\rho = {i\hbar\over2mc^2}\left( \psi^*{\partial\psi\over\partial t}-\psi{\partial\psi^*\over\partial t} \right)\,,\)</big>
 která by měla odpovídat [[hustota pravděpodobnosti|hustotě pravděpodobnosti]], může nabývat i záporných hodnot. To vedlo [[Paul Dirac|Paula Diraca]] ke hledání lepší pohybové rovnice, které dnes říkáme [[Diracova rovnice]]. Při jejím odvození předpověděl Dirac existenci [[antihmota|antihmoty]] a také zcela novou fyzikální veličinu ([[spin]]), která nemá v klasické fyzice analogii. Bez těchto úvah nelze problémy Kleinovy-Gordonovy rovnice korektně vyřešit, takže popisuje správně pouze částice s nulovým spinem.