Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Mnohoúhelník

Z Multimediaexpo.cz

Mnohoúhelník (též n-úhelník) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Přesnější definice je tato: Mnohoúhelník je omezená část roviny ohraničená uzavřenou lomenou čárou.

Obsah

[skrýt]

Základní pojmy

Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník

Znázornění a zápis

Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly. Soubor:Mnohouhelnik.jpg

Druhy mnohoúhelníků

Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy), se mnohoúhelníky dělí na:

  • pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné,
  • konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je vetší než 180°),
  • pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, příp. 270°`) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu).

Vlastnosti

  • Obvod mnohoúhelníka o se vypočte jako součet všech jeho stran:
o=a+b+c+..., kde a,b,c,... jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka.
  • Obsah obecného mnohoúhelníka S se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy S1,S2,... se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou:
S=S1+S2+...
  • Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je roven
π(n2)rad
  • Počet úhlopříček obecného n-úhelníku určíme ze vztahu
12n(n3)
  • Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak říkáme, že je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice).
  • Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na n2 trojúhelníků.

Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku

  • Velikost vnitřního úhlu pravidelného n-úhelníku má hodnotu
αn=n2nπ
  • Velikost středového, popř. vnějšího úhlu je rovna
αn=2πn
ρn=124rn2an2
  • Obsah pravidelného n-úhelníku lze určit jako
Sn=nanρn2=nρn2tgπn=nan24tgπn=nrn2sinπncosπn=12 nrn2sin2πn

Související články

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Mnohoúhelník