V neděli 16. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 920 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Aproximace

Z Multimediaexpo.cz

Aproximace (z lat. ad a proximus, blízký) znamená přiblížení; odtud přídavné jméno aproximativní, přibližný.

Obsah

[skrýt]

V matematice a geometrii

V matematice znamená aproximace přibližnou hodnotu čísla nebo jednu z možných hodnot čísla, nebo také nahrazení čísla vhodným číslem blízkým. V geometrii se jedná o proložení několika bodů křivkou, přičemž není nutné, aby aproximační křivka přesně procházela zadanými body. (Na rozdíl od interpolace.)

Důvody aproximace

  • příliš náročný výpočet funkce (složitý funkční předpis, implicitně zadané funkce, …)
  • potřeba výpočtu dalších charakteristických funkcí (derivace, integrál, …)

Příklad

Např. Ludolfovo číslo lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou 227. Aproximace čísla π je tedy 227.

Přibližné vztahy využívající Taylorova rozvoje

Mnohé aproximace jsou založeny na rozvoji dané funkce v Taylorovu řadu a následném zanedbání vyšších členů rozvoje. Přesnost aproximace pak souvisí s počtem členů, které jsou použity. Mezi často používané přibližné vztahy patří např.

  • e±x1±x (pro x blízké nule, příklad v článku Linearizace)
  • ln(1±x)±x (pro x blízké nule)
  • Je-li absolutní hodnota proměnných x1,x2,...,xn,y1,y2,...,yn blízká nule, pak
(1±x1)(1±x2)(1±xn)(1±y1)(1±y2)(1±yn)1±x1±x2±±xny1y2yn

Speciálními případy jsou pak vztahy

(1±x1)(1±x2)(1±xn)1±x1±x2±±xn
1(1±y1)(1±y2)(1±yn)1y1y2yn
  • Z předchozích vztahů lze pro n-tou mocninu získat vztah (stejný vztah lze získat z binomické věty zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny x)
(1±x)n1±nx
  • Pro n-tou odmocninu lze nalézt přibližný výraz
1±xn1±xn
  • Pro dvě kladná a blízká čísla x a y taková, že čtverec jejich rozdílu (xy)2 lze zanedbat proti čtverci jejich součtu (x+y)2, lze psát
(x+y)24xy
xyx+y2

Přibližné výrazy goniometrických funkcí

Pro malý úhel α0 a libovolný úhel β lze pro goniometrické funkce použít následující přibližné vztahy.

  • sinαα

s relativní chybou menší než 0,1 pro |α|<0,08rad neboli 4,5. Přesnějším přiblížením je

sinααα36

s relativní chybou menší než 105 pro |α|<0,25rad neboli 14.

  • cosα1

s relativní chybou menší než 0,1 pro |α|<0,04rad neboli 2,3. Přesnějším přiblížením je

cosα1α22

s relativní chybou menší než 104 pro |α|<0,25rad neboli 14.

  • tgαα

s relativní chybou menší než 0,1 pro |α|<0,06rad neboli 3,4. Přesnějším přiblížením je

tgαα+α33

s relativní chybou menší než 5104 pro |α|<0,25rad neboli 14.

  • αsinα1

s relativní chybou menší než 0,1 pro |α|<0,017rad neboli 1,008.

  • sin(β±α)sinβ±αcosβ
  • cos(β±α)cosβαsinβ
  • tg(β±α)tgβ±αcos2β
  • cotg(β±α)cotgβαsin2β

Související články