Integrace racionálních funkcí

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 22. 4. 2025, 08:57

Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru \(\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,\mathrm{d}x\), kde \(P(x), Q(x)\) jsou polynomy.

Racionální funkci \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků.

Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

\(I_1 = \int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x\)

pro přirozené číslo \(n \ge 1\) a \(x \ne a\), a integrálu

\(I_2 = \int \frac{M x + N}{{(x^2 + p x + q)}^n} \,\mathrm{d}x\)

pro přirozené číslo \(n \ge 1\), přičemž diskriminant D výrazu \(x^2 + p x + q\) je záporný.

Pro integrál \(I_1\) dostaneme pro \(n=1\) aplikováním základních integračních vztahů výraz

\(\int \frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x = A \ln{|x-a|} + C\)

pro \(x \ne a\).

Pro \(n \geq 2\) pak pro \(I_1\) ze základních vztahů plyne

\(\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x = \frac{A}{1-n}\frac{1}{{(x-a)}^{n-1}} + C\)

pro \(x \ne a\).

Integrál \(I_2\) pro \(M=0, n=1\) lze převést na integrál \(\int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+a^2}\) pomocí substituce

\(x^2+px+q = {(x+\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q) = z^2+a^2\),

kde \(z = x + \frac{p}{2}\) a \(a^2 = -(\frac{p^2}{4}-q) = -D\). Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

\(\int N\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+px+q} = N \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{(x+\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)} = \)

\(=N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{z^2+a^2} = \frac{N}{a} \operatorname{arctg}\frac{z}{a} + C = \frac{N}{\sqrt{-D}} \operatorname{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{-D}} + C\)

Integrál \(I_2\) pro \(M \ne 0\) a \(n=1\) upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

\(\int \frac{k f^\prime(x)+A}{f(x)}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x + \int A f(x)\,\mathrm{d}x\)

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu \(I_2\) pro \(M=0, n=1\). Využijeme-li toho, že \({(x^2+px+q)}^\prime=2x+p\) a současně

\(Mx+N = \frac{M}{2}\left(2x+\frac{2N}{M}\right) = \frac{M}{2}\left[(2x+p)+(\frac{2N}{M}-p)\right],\)

pak dostáváme řešení

\(\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x = \frac{M}{2} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x + \frac{M}{2}(\frac{2N}{M}-p) \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2 + px+q} = \frac{M}{2} \ln{|x^2+px+q|} + A I\)

kde \(I\) je integrál typu \(I_2\) pro \(M=0,n=1\).

Integrál \(I_2\) pro \(M=0, n>1\) lze pomocí substituce \(x-\frac{p}{2}=z, \,\mathrm{d}z=\,\mathrm{d}x\) a \(-(\frac{p^2}{4}-q)=a^2\) upravit na tvar

\(K_n = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{(x^2+px+q)}^n} = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{[{(x-\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)]}^n} = N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{{(z^2+a^2)}^n}\)

Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

\(K_{n+1} = \frac{z}{2na^2 {(z^2+a^2)}^n} + \frac{2n-1}{2na^2} K_n\)

pro \(n \geq 1\). Řešení integrálu \(K_n\) lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu \(K_1\), což je však integrál typu \(I_2\) pro \(M=0, n=1\).

U integrálů \(I_2\), u nichž je \(M \neq 0, n>1\) použijeme \(f(x)=x^2+px+q\). Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru \(k f^\prime(x)+A\). Řešení má pak tvar

\(\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\,\mathrm{d}x = \int \frac{k f^\prime(x)+A}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x + A \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{[f(x)]}^n} = \frac{M}{2(1-n)}\frac{1}{{(x^2+px+q)}^{n-1}} + K_n\),

kde \(K_n\) je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-{{Wikipedia-cs|Integrace racionálních funkcí|700}}
+'''Integrace racionálních funkcí''' se týká [[Neurčitý integrál|neurčitého integrálu]] tvaru <big>\(\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,\mathrm{d}x\)</big>, kde <big>\(P(x), Q(x)\)</big> jsou [[polynom]]y.
+[[Racionální funkce|Racionální funkci]] <big>\(\frac{P(x)}{Q(x)}\)</big> je vždy možné rozložit na [[Sčítání|součet]] polynomu a [[racionální funkce|ryze racionální lomené funkce]]. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet [[parciální zlomek|parciálních zlomků]].
+Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu
+:<big>\(I_1 = \int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x\)</big>
+pro [[přirozené číslo]] <big>\(n \ge 1\)</big> a <big>\(x \ne a\)</big>, a integrálu
+:<big>\(I_2 = \int \frac{M x + N}{{(x^2 + p x + q)}^n} \,\mathrm{d}x\)</big>
+pro přirozené číslo <big>\(n \ge 1\)</big>, přičemž [[diskriminant]] ''D'' výrazu <big>\(x^2 + p x + q\)</big> je [[Kladné a záporné číslo|záporný]].
+Pro integrál <big>\(I_1\)</big> dostaneme pro <big>\(n=1\)</big> aplikováním základních integračních vztahů výraz
+:<big>\(\int \frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x = A \ln{|x-a|} + C\)</big>
+pro <big>\(x \ne a\)</big>.
+Pro <big>\(n \geq 2\)</big> pak pro <big>\(I_1\)</big> ze základních vztahů plyne
+:<big>\(\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x = \frac{A}{1-n}\frac{1}{{(x-a)}^{n-1}} + C\)</big>
+pro <big>\(x \ne a\)</big>.
+Integrál <big>\(I_2\)</big> pro <big>\(M=0, n=1\)</big> lze převést na integrál <big>\(\int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+a^2}\)</big> pomocí [[substituce (matematika)|substituce]]
+:<big>\(x^2+px+q = {(x+\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q) = z^2+a^2\)</big>,
+kde <big>\(z = x + \frac{p}{2}\)</big> a <big>\(a^2 = -(\frac{p^2}{4}-q) = -D\)</big>. Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme
+:<big>\(\int N\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+px+q} = N \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{(x+\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)} = \)</big>
+:<big>\(=N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{z^2+a^2} = \frac{N}{a} \operatorname{arctg}\frac{z}{a} + C = \frac{N}{\sqrt{-D}} \operatorname{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{-D}} + C\)</big>
+Integrál <big>\(I_2\)</big> pro <big>\(M \ne 0\)</big> a <big>\(n=1\)</big> upravíme tak, aby v [[čitatel]]i byl (až na aditivní [[konstanta|konstantu]]) násobek derivace [[jmenovatel]]e, což umožňuje úpravu
+:<big>\(\int \frac{k f^\prime(x)+A}{f(x)}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x + \int A f(x)\,\mathrm{d}x\)</big>
+Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu <big>\(I_2\)</big> pro <big>\(M=0, n=1\)</big>. Využijeme-li toho, že <big>\({(x^2+px+q)}^\prime=2x+p\)</big> a současně
+:<big>\(Mx+N = \frac{M}{2}\left(2x+\frac{2N}{M}\right) = \frac{M}{2}\left[(2x+p)+(\frac{2N}{M}-p)\right],\)</big>
+pak dostáváme řešení
+:<big>\(\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x = \frac{M}{2} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x + \frac{M}{2}(\frac{2N}{M}-p) \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2 + px+q} = \frac{M}{2} \ln{|x^2+px+q|} + A I\)</big>
+kde <big>\(I\)</big> je integrál typu <big>\(I_2\)</big> pro <big>\(M=0,n=1\)</big>.
+Integrál <big>\(I_2\)</big> pro <big>\(M=0, n>1\)</big> lze pomocí substituce <big>\(x-\frac{p}{2}=z, \,\mathrm{d}z=\,\mathrm{d}x\)</big> a <big>\(-(\frac{p^2}{4}-q)=a^2\)</big> upravit na tvar
+:<big>\(K_n = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{(x^2+px+q)}^n} = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{[{(x-\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)]}^n} = N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{{(z^2+a^2)}^n}\)</big>
+Řešíme-li poslední integrál metodou [[per partes]], dostaneme rekurentní vztah
+:<big>\(K_{n+1} = \frac{z}{2na^2 {(z^2+a^2)}^n} + \frac{2n-1}{2na^2} K_n\)</big>
+pro <big>\(n \geq 1\)</big>. Řešení integrálu <big>\(K_n\)</big> lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu <big>\(K_1\)</big>, což je však integrál typu <big>\(I_2\)</big> pro <big>\(M=0, n=1\)</big>.
+U integrálů <big>\(I_2\)</big>, u nichž je <big>\(M \neq 0, n>1\)</big> použijeme <big>\(f(x)=x^2+px+q\)</big>. Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru <big>\(k f^\prime(x)+A\)</big>. Řešení má pak tvar
+:<big>\(\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\,\mathrm{d}x = \int \frac{k f^\prime(x)+A}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x + A \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{[f(x)]}^n} = \frac{M}{2(1-n)}\frac{1}{{(x^2+px+q)}^{n-1}} + K_n\)</big>,
+kde <big>\(K_n\)</big> je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.
+Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.
+{{Článek z Wikipedie}}
 [[Kategorie:Integrální počet]]