Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). ^[1]

Obsah 1 Ukázky řešení příkladu 1.1 Exponenciální rovnice 1.2 Goniometrická rovnice 2 Související články 3 Reference

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

1. \(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)
2. Zavedeme substituci \(a = 2^{x}\):
   \(a^{2} + a - 6 = 0\)
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)
   
   \(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
   
   \(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. \(2 = 2^x\)
   2. \(-3 = 2^x\)
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. \(2 = 2^x\)
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo \(2\) se dá napsat jako \(2^1\):
         \(2^1 = 2^x\)
      2. \(1 = x\)
      3. Výsledek je:
         \(x = 1\)
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. \(-3 = 2^x\)
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

1. \((\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0\)
2. Zavedeme substituci \(a = \sin x\):
   \(a^{2} + 2a - 3 = 0\)
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   \(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\)
   
   \(a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
   
   \(a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. \(\sin x = 1\)
   2. \(\sin x = -3\)
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. \(\sin x = 1\)
      \(x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi\)
   2. \(\sin x = -3\)
      \(x = \phi\)
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

• Substituční metoda (integrování)

Reference

1. ↑ Substituce - definice

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii