Per partes

Z Multimediaexpo.cz

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

$\int (uv{)}^{\prime }\mathrm{d}x=\int (u^{\prime }v)\mathrm{d}x+\int (u{v}^{\prime })\mathrm{d}x$

$uv=\int (u^{\prime }v)\mathrm{d}x+\int (u{v}^{\prime })\mathrm{d}x$

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

$\int (u{v}^{\prime })\mathrm{d}x=uv-\int (u^{\prime }v)\mathrm{d}x$

Druhý vztah získáme pouhou záměnou $u\leftrightarrow v$.

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

• $\int (x\cdot \cos x)\mathrm{d}x=x\cdot \sin x-\int \sin x\mathrm{d}x=x\cdot \sin x+\cos x+C$, kde bylo použito $u=x,v^{\prime }=\cos x$
• Pro nalezení $\int x^2\sin x\mathrm{d}x$ položíme $u=x^2,v^{\prime }=\sin x$, takže dostaneme $\int x^2\sin x\mathrm{d}x=-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm{d}x$. Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme $u=x,v^{\prime }=\cos x$, tzn. $\int x\cos x\mathrm{d}x=x\sin x-\int \sin x\mathrm{d}x=x\sin x+\cos x$. Dosazením pak získáme konečný výsledek $\int x^2\sin x\mathrm{d}x=-x^2\cos x+2(x\sin x+\cos x)+C$

Související články

• Integrál
• Derivace
• Substituční metoda

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii