The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 24, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Per partes

Z Multimediaexpo.cz

Integrace per partes (integrace po částech) se používá pro integrování součinu funkcí. Tato metoda je založena na větě o derivaci součinu:

\((uv)^\prime =u^\prime v+uv^\prime\)

Uplatníme-li tuto větu na podmínky pro integrál, dostáváme následující vzorce:

\(\int(uv)'\,\mathrm{d}x = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)
\(uv = \int(u'v)\,\mathrm{d}x + \int(uv')\,\mathrm{d}x\)

Úpravou druhé rovnice dostáváme metodu integrace označovanou jako per partes:

\(\int(uv')\,\mathrm{d}x = uv - \int(u'v)\,\mathrm{d}x\)

Druhý vztah získáme pouhou záměnou \(u \leftrightarrow v\).

Vztah pro integraci po částech bývá také vyjadřován pomocí diferenciálu jako

\(\int u\,\mathrm{d}v = uv - \int v\,\mathrm{d}u\)

Metoda per partes je vhodná pro integrování součinu funkcí. Při hledání integrálu lze metodu per partes použít opakovaně.

Příklady

  • \(\int(x\cdot\cos x)\,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x - \int \sin x \,\mathrm{d}x = x\cdot\sin x + \cos x + C\), kde bylo použito \(u = x, v^\prime = \cos x\)
  • Pro nalezení \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x\) položíme \(u = x^2, v^\prime = \sin x\), takže dostaneme \(\int x^2 \sin x \,\mathrm{d}x = - x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x\). Pro řešení získaného integrálu použijeme opět metodu per partes, přičemž položíme \(u = x, v^\prime = \cos x\), tzn. \(\int x \cos x \mathrm{d}x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x\). Dosazením pak získáme konečný výsledek \(\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C\)

Související články


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Per_partes“