Integrace racionálních funkcí

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 22. 4. 2025, 09:01

Integrace racionálních funkcí se týká neurčitého integrálu tvaru \(\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,\mathrm{d}x\), kde \(P(x), Q(x)\) jsou polynomy.

Racionální funkci \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) je vždy možné rozložit na součet polynomu a ryze racionální lomené funkce. Racionální lomenou funkci vyjádříme jako součet parciálních zlomků.

Vzhledem k tomu, že integrace polynomu je triviální, zbývá řešit integraci lomené racionální funkce, která se však v nejobecnějším případě redukuje na řešení integrálu

\(I_1 = \int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x\)

pro přirozené číslo \(n \ge 1\) a \(x \ne a\), a integrálu

\(I_2 = \int \frac{M x + N}{{(x^2 + p x + q)}^n} \,\mathrm{d}x\)

pro přirozené číslo \(n \ge 1\), přičemž diskriminant D výrazu \(x^2 + p x + q\) je záporný.

Pro integrál \(I_1\) dostaneme pro \(n=1\) aplikováním základních integračních vztahů výraz

\(\int \frac{A}{x-a}\,\mathrm{d}x = A \ln{|x-a|} + C\)

pro \(x \ne a\).

Pro \(n \geq 2\) pak pro \(I_1\) ze základních vztahů plyne

\(\int \frac{A}{{(x-a)}^n}\,\mathrm{d}x = \frac{A}{1-n}\frac{1}{{(x-a)}^{n-1}} + C\)

pro \(x \ne a\).

Integrál \(I_2\) pro \(M=0, n=1\) lze převést na integrál \(\int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+a^2}\) pomocí substituce

\(x^2+px+q = {(x+\frac{p}{2})}^2-(\frac{p^2}{4}-q) = z^2+a^2\),

kde \(z = x + \frac{p}{2}\) a \(a^2 = -(\frac{p^2}{4}-q) = -D\). Pomocí základních integračních vztahů pak dostaneme

\(\int N\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+px+q} = N \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{(x+\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)} = \)

\(=N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{z^2+a^2} = \frac{N}{a} \operatorname{arctg}\frac{z}{a} + C = \frac{N}{\sqrt{-D}} \operatorname{arctg}\frac{x+\frac{p}{2}}{\sqrt{-D}} + C\)

Integrál \(I_2\) pro \(M \ne 0\) a \(n=1\) upravíme tak, aby v čitateli byl (až na aditivní konstantu) násobek derivace jmenovatele, což umožňuje úpravu

\(\int \frac{k f^\prime(x)+A}{f(x)}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{f(x)}\,\mathrm{d}x + \int A f(x)\,\mathrm{d}x\)

Řešení prvního integrálu lze najít podle základních integračních vztahů a druhý integrál je integrál typu \(I_2\) pro \(M=0, n=1\). Využijeme-li toho, že \({(x^2+px+q)}^\prime=2x+p\) a současně

\(Mx+N = \frac{M}{2}\left(2x+\frac{2N}{M}\right) = \frac{M}{2}\left[(2x+p)+(\frac{2N}{M}-p)\right],\)

pak dostáváme řešení

\(\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x = \frac{M}{2} \int \frac{2x+p}{x^2+px+q}\,\mathrm{d}x + \frac{M}{2}(\frac{2N}{M}-p) \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x^2 + px+q} = \frac{M}{2} \ln{|x^2+px+q|} + A I\)

kde \(I\) je integrál typu \(I_2\) pro \(M=0,n=1\).

Integrál \(I_2\) pro \(M=0, n>1\) lze pomocí substituce \(x-\frac{p}{2}=z, \,\mathrm{d}z=\,\mathrm{d}x\) a \(-(\frac{p^2}{4}-q)=a^2\) upravit na tvar

\(K_n = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{(x^2+px+q)}^n} = \int \frac{N \,\mathrm{d}x}{{[{(x-\frac{p}{2})}^2 - (\frac{p^2}{4}-q)]}^n} = N \int \frac{\,\mathrm{d}z}{{(z^2+a^2)}^n}\)

Řešíme-li poslední integrál metodou per partes, dostaneme rekurentní vztah

\(K_{n+1} = \frac{z}{2na^2 {(z^2+a^2)}^n} + \frac{2n-1}{2na^2} K_n\)

pro \(n \geq 1\). Řešení integrálu \(K_n\) lze pak vyjádřit prostřednictvím integrálu \(K_1\), což je však integrál typu \(I_2\) pro \(M=0, n=1\).

U integrálů \(I_2\), u nichž je \(M \neq 0, n>1\) použijeme \(f(x)=x^2+px+q\). Čitatele lze pak vyjádřit ve tvaru \(k f^\prime(x)+A\). Řešení má pak tvar

\(\int \frac{Mx+N}{{(x^2+px+q)}^n}\,\mathrm{d}x = \int \frac{k f^\prime(x)+A}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x = k \int \frac{f^\prime(x)}{{[f(x)]}^n}\,\mathrm{d}x + A \int \frac{\,\mathrm{d}x}{{[f(x)]}^n} = \frac{M}{2(1-n)}\frac{1}{{(x^2+px+q)}^{n-1}} + K_n\),

kde \(K_n\) je integrál vyjádřený pomocí dříve uvedeného rekurentního vztahu.

Při integraci racionální funkci tedy nejdříve vyjádříme tuto funkci jako součet polynomu, který lze ihned integrovat, a racionální lomené funkce, kterou rozložíme na parciální zlomky. Poté integrujeme parciální zlomky, čímž získáme celé řešení integrálu původní racionální funkce.

Související články

• Racionální funkce