V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Časoprostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
(+ Masivní vylepšení)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze.)
Řádka 16: Řádka 16:
Takto vytvořený čtyřrozměrný prostor je použitelný pouze tehdy, pokud [[vzdálenost]] v tomto prostoru je [[invariance|invariantní]] vzhledem k [[Lorentzova transformace|Lorentzově transformaci]]. To vyžaduje, aby vzdálenost mezi dvěma body tohoto prostoru byla definována jiným způsobem, než je obvyklé v [[Eukleidovský prostor|euklidovském prostoru]].
Takto vytvořený čtyřrozměrný prostor je použitelný pouze tehdy, pokud [[vzdálenost]] v tomto prostoru je [[invariance|invariantní]] vzhledem k [[Lorentzova transformace|Lorentzově transformaci]]. To vyžaduje, aby vzdálenost mezi dvěma body tohoto prostoru byla definována jiným způsobem, než je obvyklé v [[Eukleidovský prostor|euklidovském prostoru]].
-
Doplníme-li časovou souřadnici o [[imaginární jednotka|imaginární jednotku]], tzn. časovou souřadnici vyjádříme jako <math>\mathrm{i}ct</math>, lze vzdálenost vyjádřit vztahem
+
Doplníme-li časovou souřadnici o [[imaginární jednotka|imaginární jednotku]], tzn. časovou souřadnici vyjádříme jako <big>\(\mathrm{i}ct\)</big>, lze vzdálenost vyjádřit vztahem
-
:<math>\Delta s^2 = {(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2-c^2{(t_2-t_1)}^2 = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 - c^2\Delta t^2</math>
+
:<big>\(\Delta s^2 = {(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2-c^2{(t_2-t_1)}^2 = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 - c^2\Delta t^2\)</big>
-
Veličina <math>\Delta s^2</math> bývá také označována jako „lineární element“.
+
Veličina <big>\(\Delta s^2\)</big> bývá také označována jako „lineární element“.
Takto definovaný časoprostor má euklidovský charakter a je označován jako [[Minkowskiho prostoročas|Minkowského prostor]]. [[Geometrie]] v Minkowskiho prostoročase však není euklidovská, ale označuje se jako [[pseudoeuklidovská metrika|pseudoeuklidovská]].
Takto definovaný časoprostor má euklidovský charakter a je označován jako [[Minkowskiho prostoročas|Minkowského prostor]]. [[Geometrie]] v Minkowskiho prostoročase však není euklidovská, ale označuje se jako [[pseudoeuklidovská metrika|pseudoeuklidovská]].
Řádka 24: Řádka 24:
Z hlediska přechodu od [[speciální teorie relativity]] k [[obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]] je však vhodnější formulovat vzdálenost zavedením [[metrický tenzor|metrického tenzoru]]. Vzhledem k tomu, že Minkowského prostor není [[zakřivený prostor|zakřivený]], má metrický tenzor jednoduchý tvar
Z hlediska přechodu od [[speciální teorie relativity]] k [[obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]] je však vhodnější formulovat vzdálenost zavedením [[metrický tenzor|metrického tenzoru]]. Vzhledem k tomu, že Minkowského prostor není [[zakřivený prostor|zakřivený]], má metrický tenzor jednoduchý tvar
-
:<math>\eta_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(-1,1,1,1)</math>,
+
:<big>\(\eta_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(-1,1,1,1)\)</big>,
-
kde <math>\iota,\kappa=0,1,2,3</math>, přičemž index ''0'' označuje časovou složku a indexy ''1'', ''2'' a ''3'' označují prostorové komponenty metrického tenzoru.
+
kde <big>\(\iota,\kappa=0,1,2,3\)</big>, přičemž index ''0'' označuje časovou složku a indexy ''1'', ''2'' a ''3'' označují prostorové komponenty metrického tenzoru.
Místo uvedené metriky se často používá metrický tenzor s rozdílnou [[signatura metriky|signaturou]]
Místo uvedené metriky se často používá metrický tenzor s rozdílnou [[signatura metriky|signaturou]]
-
:<math>\eta_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)</math>
+
:<big>\(\eta_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\)</big>
-
[[Skalární součin]] dvou [[vektor]]ů <math>A^\iota</math>, <math>B^\iota</math> pak lze vyjádřit jako <math>\eta_{\iota\kappa}A^\iota B^\kappa</math>, kde bylo užito [[Einsteinovo sumační pravidlo]]. Výraz pro skalární součin lze použít i pro vyjádření vzdálenosti, tzn.
+
[[Skalární součin]] dvou [[vektor]]ů <big>\(A^\iota\)</big>, <big>\(B^\iota\)</big> pak lze vyjádřit jako <big>\(\eta_{\iota\kappa}A^\iota B^\kappa\)</big>, kde bylo užito [[Einsteinovo sumační pravidlo]]. Výraz pro skalární součin lze použít i pro vyjádření vzdálenosti, tzn.
-
:<math>\Delta s^2 = \eta_{\iota\kappa}\Delta x^\iota\Delta x^\kappa</math>,
+
:<big>\(\Delta s^2 = \eta_{\iota\kappa}\Delta x^\iota\Delta x^\kappa\)</big>,
-
kde <math>x^0</math> označuje časovou souřadnici a <math>x^i</math> pro <math>i=1,2,3</math> označuje prostorové souřadnice.
+
kde <big>\(x^0\)</big> označuje časovou souřadnici a <big>\(x^i\)</big> pro <big>\(i=1,2,3\)</big> označuje prostorové souřadnice.
Tento postup umožňuje využití prostředků [[Riemannova geometrie|Riemannovy geometrie]]. Vzhledem k tomu, že vzdálenost je indefinitní, označujeme tuto geometrii jako [[pseudoriemannovská geometrie|pseudoriemannovskou]].
Tento postup umožňuje využití prostředků [[Riemannova geometrie|Riemannovy geometrie]]. Vzhledem k tomu, že vzdálenost je indefinitní, označujeme tuto geometrii jako [[pseudoriemannovská geometrie|pseudoriemannovskou]].
Řádka 41: Řádka 41:
=== Obecná teorie relativity ===
=== Obecná teorie relativity ===
{{viz též|Obecná teorie relativity}}
{{viz též|Obecná teorie relativity}}
-
V [[obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]] se místo Minkowskiho prostoročasu používá [[Riemannův prostor|Riemannův prostoročas]], který může být obecně [[zakřivený prostor|zakřivený]] a [[metrika]] je v něm charakterizována [[symetrický tenzor|symetrickým]] [[metrický tenzor|metrickým tenzorem]] <math>g_{\iota\kappa}</math>, který obecně není [[diagonální tenzor|diagonální]]. Vzdálenost je pak vyjadřována jako
+
V [[obecná teorie relativity|obecné teorii relativity]] se místo Minkowskiho prostoročasu používá [[Riemannův prostor|Riemannův prostoročas]], který může být obecně [[zakřivený prostor|zakřivený]] a [[metrika]] je v něm charakterizována [[symetrický tenzor|symetrickým]] [[metrický tenzor|metrickým tenzorem]] <big>\(g_{\iota\kappa}\)</big>, který obecně není [[diagonální tenzor|diagonální]]. Vzdálenost je pak vyjadřována jako
-
:<math>\mathrm{d} s^2 = g_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa</math>
+
:<big>\(\mathrm{d} s^2 = g_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa\)</big>
Přechod ke speciální teorii relativity lze zajistit položením
Přechod ke speciální teorii relativity lze zajistit položením
-
:<math>g_{\iota\kappa} = \eta_{\iota\kappa}</math>
+
:<big>\(g_{\iota\kappa} = \eta_{\iota\kappa}\)</big>
Vzdálenost pak získá tvar
Vzdálenost pak získá tvar
-
:<math>\mathrm{d} s^2 = \eta_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa</math>
+
:<big>\(\mathrm{d} s^2 = \eta_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa\)</big>
=== Rozdělení časoprostorových intervalů ===
=== Rozdělení časoprostorových intervalů ===
Časoprostorové vzdálenosti mezi dvěma událostmi lze rozdělit podle toho, zda je možné mezi oběma událostmi předat informaci prostřednictvím signálu šířícího se světelnou nebo podsvětelnou rychlostí.  
Časoprostorové vzdálenosti mezi dvěma událostmi lze rozdělit podle toho, zda je možné mezi oběma událostmi předat informaci prostřednictvím signálu šířícího se světelnou nebo podsvětelnou rychlostí.  
-
* ''Časupodobný interval'' - též ''časový'' nebo ''časového charakteru''. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi může být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou rychlostí, tzn. rychlostí nižší než je [[rychlost světla]]. V takovémto uspořádání může být např. vznik první události příčinou výskytu druhé události apod., tzn. mezi oběma událostmi existuje [[příčinnost|příčinná]] souvislost. Ve zvolené [[metrika|metrice]] platí <math>\mathrm{d}s^2<0</math>. V metrice s opačnou [[signatura metriky|signaturou]] bude <math>\mathrm{d}s^2>0</math>.
+
* ''Časupodobný interval'' - též ''časový'' nebo ''časového charakteru''. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi může být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou rychlostí, tzn. rychlostí nižší než je [[rychlost světla]]. V takovémto uspořádání může být např. vznik první události příčinou výskytu druhé události apod., tzn. mezi oběma událostmi existuje [[příčinnost|příčinná]] souvislost. Ve zvolené [[metrika|metrice]] platí <big>\(\mathrm{d}s^2<0\)</big>. V metrice s opačnou [[signatura metriky|signaturou]] bude <big>\(\mathrm{d}s^2>0\)</big>.
-
* ''Světelný interval'' - též ''světelného charakteru'' nebo také ''izotropní'' či ''nulový''. Jedná se o případ, kdy mohou být obě události spojeny pouze prostřednictvím [[světlo|světelného]] signálu, tzn. signálem šířícím se rychlostí světla <math>c</math>. Mezi oběma událostmi existuje [[příčinnost|příčinná]] souvislost. Bez ohledu na volbu metriky v tomto případě platí <math>\Delta s^2=0</math>.
+
* ''Světelný interval'' - též ''světelného charakteru'' nebo také ''izotropní'' či ''nulový''. Jedná se o případ, kdy mohou být obě události spojeny pouze prostřednictvím [[světlo|světelného]] signálu, tzn. signálem šířícím se rychlostí světla <big>\(c\)</big>. Mezi oběma událostmi existuje [[příčinnost|příčinná]] souvislost. Bez ohledu na volbu metriky v tomto případě platí <big>\(\Delta s^2=0\)</big>.
-
* ''Prostorupodobný interval'' - též ''prostorového charakteru''. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi nemůže být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou nebo světelnou rychlostí. Ve zvolené [[metrika|metrice]] platí <math>\mathrm{d}s^2>0</math>. V metrice s opačnou [[signatura metriky|signaturou]] bude <math>\mathrm{d}s^2<0</math>.
+
* ''Prostorupodobný interval'' - též ''prostorového charakteru''. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi nemůže být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou nebo světelnou rychlostí. Ve zvolené [[metrika|metrice]] platí <big>\(\mathrm{d}s^2>0\)</big>. V metrice s opačnou [[signatura metriky|signaturou]] bude <big>\(\mathrm{d}s^2<0\)</big>.
Poznámka: To zda je prostoročasový interval větší nebo menší než [[nula]] je závislé na [[signatura metriky|signatuře zvolené metriky]].
Poznámka: To zda je prostoročasový interval větší nebo menší než [[nula]] je závislé na [[signatura metriky|signatuře zvolené metriky]].

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Časoprostor nebo prostoročas je fyzikální pojem z teorie relativity sjednocující prostor a čas do jednoho čtyřrozměrného objektu. Čas hraje roli čtvrtého rozměru a je oproti zbylým třem prostorovým rozměrům význačný (například tím, že v něm lze pohybovat jen jedním směrem). V obecné teorii relativity je časoprostor obecně zakřivený a má strukturu variety. Projevy zakřivení časoprostoru pozorujeme jako gravitaci.

V teorii relativity je vnímání času a prostoru odděleně závislé na pozorovateli (na rozdíl od klasické fyziky), prostoročas je na pozorovateli nezávislý, což umožňuje formulaci fyzikálních zákonů tak, aby jejich tvar nezávisel na vztažné soustavě.

Jednotlivé body časoprostoru nazýváme události a matematicky s nimi zacházíme jako se čtyřvektory. Dráhy bodových částic v prostoročasu pak nazýváme světočáry. Vícerozměrný objekt vykresluje v časoprostoru tzv. světoplochu.

Pojmy prostoročas a časoprostor označují totéž. Rozdíl je jen v tom, zda zapisujeme nejprve souřadnice prostoru, nebo času. V případě prostoročasu jsou první tři souřadnice prostorové a čtvrtá časová. V případě časoprostoru se časová souřadnice posouvá na nultou pozici, tedy před prostorové souřadnice. Dnes se z důvodu jednoduchosti zápisu používá druhý způsob, tedy časoprostor.

Obsah

Vzdálenost v časoprostoru

Vzdálenost mezi dvěma událostmi v časoprostoru se označuje jako časoprostorová vzdálenost (interval).

Speciální teorie relativity

Časoprostor užívaný ve speciální teorii relativity je čtyřrozměrný, přičemž souřadnice x, y, z představují prostorové souřadnice a časová souřadnice je vyjadřována jako ct, kde c je rychlost světla. Čtveřice souřadnic tvoří čtyřvektor. Všechny souřadnice (prostorové i časová) mají tedy prostorový rozměr (jejich jednotkou jsou metry).

Takto vytvořený čtyřrozměrný prostor je použitelný pouze tehdy, pokud vzdálenost v tomto prostoru je invariantní vzhledem k Lorentzově transformaci. To vyžaduje, aby vzdálenost mezi dvěma body tohoto prostoru byla definována jiným způsobem, než je obvyklé v euklidovském prostoru.

Doplníme-li časovou souřadnici o imaginární jednotku, tzn. časovou souřadnici vyjádříme jako \(\mathrm{i}ct\), lze vzdálenost vyjádřit vztahem

\(\Delta s^2 = {(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2-c^2{(t_2-t_1)}^2 = \Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2 - c^2\Delta t^2\)

Veličina \(\Delta s^2\) bývá také označována jako „lineární element“.

Takto definovaný časoprostor má euklidovský charakter a je označován jako Minkowského prostor. Geometrie v Minkowskiho prostoročase však není euklidovská, ale označuje se jako pseudoeuklidovská.


Z hlediska přechodu od speciální teorie relativity k obecné teorii relativity je však vhodnější formulovat vzdálenost zavedením metrického tenzoru. Vzhledem k tomu, že Minkowského prostor není zakřivený, má metrický tenzor jednoduchý tvar

\(\eta_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(-1,1,1,1)\),

kde \(\iota,\kappa=0,1,2,3\), přičemž index 0 označuje časovou složku a indexy 1, 2 a 3 označují prostorové komponenty metrického tenzoru.

Místo uvedené metriky se často používá metrický tenzor s rozdílnou signaturou

\(\eta_{\iota\kappa} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\)


Skalární součin dvou vektorů \(A^\iota\), \(B^\iota\) pak lze vyjádřit jako \(\eta_{\iota\kappa}A^\iota B^\kappa\), kde bylo užito Einsteinovo sumační pravidlo. Výraz pro skalární součin lze použít i pro vyjádření vzdálenosti, tzn.

\(\Delta s^2 = \eta_{\iota\kappa}\Delta x^\iota\Delta x^\kappa\),

kde \(x^0\) označuje časovou souřadnici a \(x^i\) pro \(i=1,2,3\) označuje prostorové souřadnice.

Tento postup umožňuje využití prostředků Riemannovy geometrie. Vzhledem k tomu, že vzdálenost je indefinitní, označujeme tuto geometrii jako pseudoriemannovskou.

Každý bod Minkowskiho prostoročasu představuje tzv. prostoročasovou událost, čímž vyjadřujeme, že se nejedná pouze o prostorový bod, ale o bod prostoru vztahující se k danému časovému okamžiku. Vzdálenost mezi dvěma událostmi se označuje jako prostoročasový interval (vzdálenost).

Obecná teorie relativity

V obecné teorii relativity se místo Minkowskiho prostoročasu používá Riemannův prostoročas, který může být obecně zakřivený a metrika je v něm charakterizována symetrickým metrickým tenzorem \(g_{\iota\kappa}\), který obecně není diagonální. Vzdálenost je pak vyjadřována jako

\(\mathrm{d} s^2 = g_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa\)

Přechod ke speciální teorii relativity lze zajistit položením

\(g_{\iota\kappa} = \eta_{\iota\kappa}\)

Vzdálenost pak získá tvar

\(\mathrm{d} s^2 = \eta_{\iota\kappa}\mathrm{d}x^\iota\mathrm{d}x^\kappa\)

Rozdělení časoprostorových intervalů

Časoprostorové vzdálenosti mezi dvěma událostmi lze rozdělit podle toho, zda je možné mezi oběma událostmi předat informaci prostřednictvím signálu šířícího se světelnou nebo podsvětelnou rychlostí.

  • Časupodobný interval - též časový nebo časového charakteru. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi může být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou rychlostí, tzn. rychlostí nižší než je rychlost světla. V takovémto uspořádání může být např. vznik první události příčinou výskytu druhé události apod., tzn. mezi oběma událostmi existuje příčinná souvislost. Ve zvolené metrice platí \(\mathrm{d}s^2<0\). V metrice s opačnou signaturou bude \(\mathrm{d}s^2>0\).
  • Světelný interval - též světelného charakteru nebo také izotropní či nulový. Jedná se o případ, kdy mohou být obě události spojeny pouze prostřednictvím světelného signálu, tzn. signálem šířícím se rychlostí světla \(c\). Mezi oběma událostmi existuje příčinná souvislost. Bez ohledu na volbu metriky v tomto případě platí \(\Delta s^2=0\).
  • Prostorupodobný interval - též prostorového charakteru. Jedná se o případ, kdy mezi oběma událostmi nemůže být předána informace prostřednictvím signálu, který se šíří podsvětelnou nebo světelnou rychlostí. Ve zvolené metrice platí \(\mathrm{d}s^2>0\). V metrice s opačnou signaturou bude \(\mathrm{d}s^2<0\).

Poznámka: To zda je prostoročasový interval větší nebo menší než nula je závislé na signatuře zvolené metriky.

Množinu událostí, které mají od dané události A nulovou vzdálenost označujeme světelný kužel. Ten rozděluje prostoročas na tři oblasti: absolutní minulost, absolutní budoucnost a relativní současnost. Absolutní minulostí označujeme ty události, které pro všechny pozorovatele leží v minulosti události A, absolutní budoucnost jsou pak události, které pro každého pozorovatele leží v budoucnosti události A a relativní současnost jsou události, pro něž to, zda patří do minulosti nebo budoucnosti A závisí na pozorovateli.

Související články


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/%C4%8Casoprostor“