Norma (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Norma je funkce, která každému nenulovému vektoru přiřazuje kladné reálné číslo (tzv. délku nebo velikost), nulový vektor jako jediný má délku 0.

V případě seminormy se naopak připouští, aby i nenulovým vektorům byla přiřazena nulová délka.

Obsah

[skrýt]

1 Definice
2 Příklady
3 Vlastnosti
4 Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny
5 Související články
6 Externí odkazy

Definice

Nechť V je vektorový prostor nad nějakým podtělesem F tělesa komplexních čísel a p je reálná funkce definovaná na V. Funkce p je seminorma na V, jestliže je

pozitivně homogenní: p(a v) = |a| p(v), pro a ∈ F a v ∈ V;
subaditivní: p(u + v) ≤ p(u) + p(v), pro u, v ∈ V.

Z předpokladu pozitivní homogenity plyne, že p(0) = 0 a následně ze subaditivity p(v) ≥ 0, pro všechna v ∈ V.

Norma je seminorma p, která je navíc pozitivně definitní:

p(v) = 0 právě tehdy, když v = 0.

Pro normu se namísto p(v) zpravidla používá označení ||v||.

Příklady

Každá norma je seminorma.
Absolutní hodnota je norma na reálných číslech.
Každá lineární forma f na vektorovém prostoru definuje seminormu x → |f(x)|.

Eukleidovská norma

Na prostoru $R^{n}$ lze definovat tzv. eukleidovskou normu vektoru x = (x₁, x₂, ..., x_n) jako

‖ x ‖ := \sqrt{x_{1}^{2} + \dots + x_{n}^{2}} .

Tato norma udává vzdálenost bodu x od počátku (což je důsledek Pythagorovy věty).

p-norma

Nechť p ≥ 1 je reálné číslo.

‖ x ‖_{p} := {(\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}} .

Eukleidovská norma je speciálním případem této normy (pro p = 2).

Maximová norma

‖ x ‖_{\infty} := max (| x_{1} |, \dots, | x_{n} |) .

Norma na prostoru se skalárním součinem

Skalární součin indukuje přirozeným způsobem normu

‖ x ‖ := \sqrt{(x, x)} .

Pro normu indukovanou skalárním součinem platí Cauchyho–Schwarzova nerovnost

| (x, y) | \leq ‖ x ‖ ‖ y ‖ .

Vlastnosti

Ilustrace jednotkových kružnic v různých normách.

Tvar jednotkové kružnice (množiny vektorů velikosti 1) se liší v různých normách (viz ilustraci).

Normy ||•||_α and ||•||_β na vektorovém prostoru V se nazývají ekvivalentní, jestliže existují kladná reálná čísla C a D taková, že

C ‖ x ‖_{α} \leq ‖ x ‖_{β} \leq D ‖ x ‖_{α}

pro všechna x ∈ V. Na vektorovém prostoru konečné dimenze jsou všechny normy ekvivalentní. Například normy ||•||₁, ||•||₂ a ||•||_∞ jsou ekvivalentní na prostoru $R^{n}$ :

‖ x ‖_{2} \leq ‖ x ‖_{1} \leq \sqrt{n} ‖ x ‖_{2},

‖ x ‖_{\infty} \leq ‖ x ‖_{2} \leq \sqrt{n} ‖ x ‖_{\infty},

‖ x ‖_{\infty} \leq ‖ x ‖_{1} \leq n ‖ x ‖_{\infty} .

Ekvivalentní normy indukují tutéž topologii. Jsou-li dány dvě ekvivalentní normy na jednom prostoru, pak je spojitost funkcí i konvergence posloupností z tohoto prostoru v obou normách stejná.

Konvexní, vyvážené, pohlcující množiny

Seminormy jsou úzce spjaty s konvexními, vyváženými, pohlcujícími množinami.
Nechť p je seminorma na vektorovém prostoru V, pak pro libovolný skalár α jsou množiny {x : p(x) < α} a {x : p(x) ≤ α} konvexní, vyvážené a pohlcující.

Obráceně, ke každé konvexní, vyvážené, pohlcující podmnožině C prostoru V existuje seminorma μ_C známá jako Minkowského funkcionál množiny C, definovaná

μ_{C} (x) := inf {α : α > 0, x \in α C} .

Pro tuto seminormu platí

{x : μ_{C} (x) < 1} \subseteq C \subseteq {x : μ_{C} (x) \leq 1} .

Související články

Externí odkazy

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Norma (matematika)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii