Sinová věta

Z Multimediaexpo.cz

V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“

---

Větu lze ovšem zformulovat také takto:

<math>\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}</math> , či takto: <math>\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}</math> , nebo takto: <math>\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}</math>,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

• Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
• Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Obsah 1 Důkaz věty 1.1 Čtverec 2 Průměr kružnice opsané trojúhelníku 3 Související články

Důkaz věty

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky v_c. Pak

<math>\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha</math>

a zároveň

<math>\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta</math>.

Pak tedy

<math>a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</math>,

což je totéž jako

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}</math>.

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Čtverec

Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček <math>sin(90) = 1 = sin(45)/sin(45)</math>

tedy poloměr stran = 4:4 =1:1 a*a z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce

<math>S=a^2</math>

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

<math>\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d</math>

z čehož lze odvodit také její poloměr

<math>\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r</math>

Související články

• Kosinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii