Sinová věta

Z Multimediaexpo.cz

V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }$.

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“

---

Větu lze ovšem zformulovat také takto:

$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$ , či takto: $\frac{b}{c}=\frac{\sin \beta }{\sin \gamma }$ , nebo takto: $\frac{c}{a}=\frac{\sin \gamma }{\sin \alpha }$,

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

• Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
• Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Obsah [skrýt] 1 Důkaz věty 1.1 Čtverec 2 Průměr kružnice opsané trojúhelníku 3 Související články

Důkaz věty

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky v_c. Pak

$\left|CP\right|=\left|AC\right|\cdot \sin \alpha =b\cdot \sin \alpha$

a zároveň

$\left|CP\right|=\left|BC\right|\cdot \sin \beta =a\cdot \sin \beta$.

Pak tedy

$a\cdot \sin \beta =b\cdot \sin \alpha$,

což je totéž jako

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$.

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Čtverec

Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček $sin(90)=1=sin(45)/sin(45)$

tedy poloměr stran = 4:4 =1:1 a*a z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce

$S=a^2$

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=d$

z čehož lze odvodit také její poloměr

$\frac{a}{2\cdot \sin \alpha }=\frac{b}{2\cdot \sin \beta }=\frac{c}{2\cdot \sin \gamma }=r$

Související články

• Kosinová věta
• Tangentová věta
• Pythagorova věta
• Goniometrie

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii