Sférická soustava souřadnic

Z Multimediaexpo.cz

Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic) je soustava souřadnic v prostoru, u které jedna souřadnice (označovaná \(r\)) udává vzdálenost bodu od počátku souřadnic, druhá souřadnice (označovaná \(\varphi\)) udává úhel odklonu průvodiče bodu od osy \(x\) a třetí souřadnice (označovaná \(\theta\)) úhel mezi průvodičem a osou \(z\).

Sférická soustava souřadnic je vhodná v případech takových problémů, které mají sférickou symetrii. Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.

Bod ve sférické soustavě souřadnic

Transformace sférických souřadnic na kartézské:

\(x = r \sin{\theta} \cos{\varphi}\)

\(y = r \sin{\theta} \sin{\varphi}\)

\(z = r \cos{\theta}\,\)

Převod kartézských souřadnic na sférické:

\(r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2},\)

\(\varphi = \operatorname{arctg2}(y,x),\)

\(\theta = \arccos\left(\frac{z}{r}\right),\)

kde arctg2(x,y) je zobecnění funkce arkus tangens. Úhly volíme v rozsahu \(0\leq\theta\leq\pi\) a \(0\leq\varphi<2\pi\).

Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :

\(J= r^2 \sin \theta \)

Délka infinitesimální úsečky se spočte jako

\(\mathrm{d}s^2=\mathrm{d}r^2+r^2\mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta\ \mathrm{d}\varphi^2.\)

Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako

\(\mathrm{d}V=r^2 \left|\sin\theta\right|\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta,\)

takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes danou oblast vyjádřenou ve sférických souřadnicích.

Externí odkazy