Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Lorentzův faktor
Z Multimediaexpo.cz
Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace).
Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako
- \(\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,
kde \(v</math> je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas \(t</math>, \(\tau</math> je vlastní čas a \(c</math> je rychlost světla ve vakuu.
Dalším často se opakujícím výrazem je \(\frac{v}{c}</math>, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se \(\beta</math>.
- \(\beta \equiv \frac{v}{c}</math>
Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako
- \(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.</math>
Hodnoty
| \(\beta</math> | \(\gamma </math> | \(\gamma^{-1}</math> |
|---|---|---|
| 0.010 | 1.000 | 1.000 |
| 0.100 | 1.005 | 0.995 |
| 0.200 | 1.021 | 0.980 |
| 0.300 | 1.048 | 0.954 |
| 0.400 | 1.091 | 0.917 |
| 0.500 | 1.155 | 0.866 |
| 0.600 | 1.250 | 0.800 |
| 0.700 | 1.400 | 0.714 |
| 0.800 | 1.667 | 0.600 |
| 0.866 | 2.000 | 0.500 |
| 0.900 | 2.294 | 0.436 |
| 0.990 | 7.089 | 0.141 |
| 0.999 | 22.366 | 0.045 |
Přibližné vyjádření
Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako
- \(\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.</math>
Aproximaci \(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti \(\beta< 0,4</math> vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti \(\beta< 0,22</math> vykazuje chybu menší než 0,1%.
Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno \(m</math> značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost
- \(\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} </math>
přejde pro \(\gamma \approx 1\,</math> na
- \(\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.</math>
Podobně vztah pro energii
- \(E = \gamma m c^2</math>
přejde pro \(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> na klasický tvar
- \(E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,. </math>
V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu \(\beta^2</math> a vyšší, takže je \(\gamma\approx 1</math> a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci.
- \(x^\prime = x - \beta ct</math>
- \(y^\prime = y</math>
- \(z^\prime = z</math>
- \(ct^\prime = ct - \beta x \,.</math>
Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí \(\gamma</math>
- \(\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,</math>
což lze také přepsat do Taylorovy řady
- \(\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.</math>
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |