Gaussův integrál

Z Multimediaexpo.cz

Graf ƒ(x) = e^−x2 a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná <math> \scriptstyle\sqrt{\pi} </math>

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,^[1] je integrál Gaussovy funkce e^−x2 přes celou reálnou osu, tedy

<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.</math>

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme <math>Y</math>.

<math>Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x</math>

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme <math>y</math>.

<math>Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y</math>

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

<math>Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi <math>(x,y)</math>. Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic <math>(\varphi,r)</math>, do kterých funkci přepíšeme.

<math>Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r</math>

Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou per partes a jeho hodnota je <math>\pi</math>. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

<math>Y = \sqrt{\pi}</math>

Reference

1. ↑ Пуассона интеграл, БСЭ

Externí odkazy

• Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika