Gaussův integrál

Z Multimediaexpo.cz

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,^[1] je integrál Gaussovy funkce e^−x2 přes celou reálnou osu, tedy

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme \(Y\).

\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme \(y\).

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi \((x,y)\). Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic \((\varphi,r)\), do kterých funkci přepíšeme.

\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)

Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou per partes a jeho hodnota je \(\pi\). Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

\(Y = \sqrt{\pi}\)

Reference

1. ↑ Пуассона интеграл, БСЭ

Externí odkazy

• Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii