Weierstrassova funkce

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Weierstrassova funkce s konstantami

a = 0, 5

;

b = 3

.

Ukázka soběpodobnosti.

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi (1815–1897), je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci.

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.^[1]

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

Podle původní publikace (http://historical.library.cornell.edu/…) a http://planetmath.org/…:

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a^{n} \cos (b^{n} π x)

kde

0 < a < 1

,

b

je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.

a b > 1 + \frac{3}{2} π

Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou

a b \geq 1

.

Podle http://mathworld.wolfram.com/…:

Riemannova funkce,

a = 2

.

f_{a} (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\sin (π k^{a} x)}{π k^{a}}

přičemž údajně podle původní publikace

a = 2

. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů^[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.

Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.^[1]^[3]

Související články

Reference

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[conroy-0] 1,0 ^1,1 Příklad Weierstrassovy funkce, ukázka soběpodobnosti: http://www.math.washington.edu/…

[1] ttp://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html

[2] ttp://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html

[1]

[2]

[3]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-[[Soubor:Weierf.png|thumb|260px|Weierstrassova funkce s konstantami <big>\(a=0,5</math>; <big>\(b=3</math>.]]
+[[Soubor:Weierf.png|thumb|260px|Weierstrassova funkce s konstantami <big>\(a=0,5\)</big>; <big>\(b=3\)</big>.]]
 [[Soubor:WeierstrassFunction.png|260px|thumb|Ukázka soběpodobnosti.]]
 '''Weierstrassova funkce''', pojmenovaná po [[Německo|německém]] matematikovi Karlu Weierstrassovi (1815–1897), je [[matematika|matematická]] [[Funkce (matematika)|funkce]], která je ve všech [[bod]]ech [[Spojitá funkce|spojitá]], ale v žádném bodě nemá [[derivace|derivaci]].
@@ Řádka 10: / Řádka 10: @@
 * Podle původní publikace ([http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00770001&seq=&view=50&frames=0&pagenum=97 http://historical.library.cornell.edu/…]) a [http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassFunction.html http://planetmath.org/…]:
-:<big>\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)</math>
+:<big>\(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)\)</big>
-:kde <big>\(0<a<1</math>, <big>\(b</math> je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.
+:kde <big>\(0<a<1\)</big>, <big>\(b\)</big> je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.
-:<big>\( ab > 1+\frac{3}{2} \pi</math>
+:<big>\( ab > 1+\frac{3}{2} \pi\)</big>
-:Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou <big>\(ab \ge 1</math>.
+:Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou <big>\(ab \ge 1\)</big>.
 * Podle [http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/…]:
-[[Soubor:Riemannf.png|thumb|260px|Riemannova funkce, <big>\(a=2</math>.]]
+[[Soubor:Riemannf.png|thumb|260px|Riemannova funkce, <big>\(a=2\)</big>.]]
-:<big>\(f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,</math>
+:<big>\(f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,\)</big>
-:přičemž údajně podle původní publikace <big>\(a = 2</math>. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů<ref>http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html</ref> je tato funkce nazývána ''Riemannova'', neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.
+:přičemž údajně podle původní publikace <big>\(a = 2\)</big>. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů<ref>http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html</ref> je tato funkce nazývána ''Riemannova'', neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.
 * Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.<ref name="conroy" /><ref>http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html</ref>