Lorentzův faktor

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 6. 3. 2015, 01:13

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace).

Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako

<math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,

kde <math>v</math> je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas <math>t</math>, <math>\tau</math> je vlastní čas a <math>c</math> je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je <math>\frac{v}{c}</math>, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se <math>\beta</math>.

<math>\beta \equiv \frac{v}{c}</math>

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.</math>

Hodnoty

Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých <math>c</math> roste nade všechny meze.

Přibližné vyjádření

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

<math>\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.</math>

Aproximaci <math>\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti <math>\beta< 0,4</math> vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti <math>\beta< 0,22</math> vykazuje chybu menší než 0,1%.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno <math>m</math> značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost

<math>\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} </math>

přejde pro <math>\gamma \approx 1\,</math> na

<math>\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.</math>

Podobně vztah pro energii

<math>E = \gamma m c^2</math>

přejde pro <math>\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> na klasický tvar

<math>E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,. </math>

V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu <math>\beta^2</math> a vyšší, takže je <math>\gamma\approx 1</math> a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci.

<math>x^\prime = x - \beta ct</math>

<math>y^\prime = y</math>

<math>z^\prime = z</math>

<math>ct^\prime = ct - \beta x \,.</math>

Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí <math>\gamma</math>

<math>\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,</math>

což lze také přepsat do Taylorovy řady

<math>\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.</math>

Související články

• Speciální teorie relativity
• Lorentzova transformace
• Bezrozměrná rychlost