V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Kvadratura kruhu

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Kvadratura kruhu|700}}
+
[[Soubor:SquareCircle.svg|frame|Kruh a čtverec o stejném obsahu]]
 +
'''Kvadratura [[kruh]]u''' je [[1 (číslo)|jeden]] ze [[3 (číslo)|tří]] nejslavnějších antických [[konstrukce (geometrie)|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[duplikace krychle]] a [[trisekce úhlu]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.
 +
== Přesné zadání úlohy ==
 +
Obecné zadání úlohy '''kvadratura kruhu''' zní v jazyce moderní [[matematika|matematiky]] takto:
 +
 +
''Nalezněte obecnou [[euklidovská konstrukce|euklidovskou konstrukci]], pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat [[čtverec]] o stejném [[obsah]]u, jako má daný [[Kruh (geometrie)|kruh]].''
 +
 +
Poněkud méně formálně:
 +
 +
''K danému kruhu zkonstruujte čtverec o stejném obsahu pouze za užití [[pravítko|pravítka]] a [[kružítko|kružítka]].''
 +
 +
== Historie ==
 +
Problém je zřejmě tak starý jako [[geometrie]] sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit [[Archimédova spirála|Archimédovu spirálu]], pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.
 +
 +
== Důkaz neřešitelnosti ==
 +
Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla <math>\sqrt{\pi}</math>. Problém je, že toto číslo je [[transcendentní číslo|transcendentní]]. Neboli není [[algebraické číslo|algebraické]], a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla [[Pí (číslo)|π]] byla dokázána roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem. Pokud by se někomu podařilo vyřešit kvadraturu kruhu, našel by také nutně algebraickou hodnotu <math>\pi</math>, což je nemožné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.
 +
 +
Pokud se použije racionální aproximace čísla <math>\pi</math>, kvadratura je možná. Toto je však pouze přibližné řešení, které nesplňuje původní zadání problému. Je samozřejmé, že čím přesnější aproximace čísla <math>\pi</math> se použije, tím přesnější řešení získáme. Matematici již předvedli množství postupů, které k takovémuto přibližnému výsledku vedou.
 +
 +
Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, potom je kvadratura také možná.
 +
 +
I když kvadratura kruhu je neuskutečnitelná v [[Eukleidovský prostor|Euklidově prostoru]], je možná v [[Hyperbolická_geometrie|Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Trisekce úhlu]]
 +
* [[Duplikace krychle]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (anglicky)]
 +
* [http://mathworld.wolfram.com/CircleSquaring.html Math World (anglicky)]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Matematické problémy]]
[[Kategorie:Matematické problémy]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

Verze z 25. 2. 2014, 12:04

Soubor:SquareCircle.svg
Kruh a čtverec o stejném obsahu

Kvadratura kruhu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou duplikace krychle a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto problémy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

Obsah

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy kvadratura kruhu zní v jazyce moderní matematiky takto:

Nalezněte obecnou euklidovskou konstrukci, pomocí níž bude možné v konečném počtu kroků zkonstruovat čtverec o stejném obsahu, jako má daný kruh.

Poněkud méně formálně:

K danému kruhu zkonstruujte čtverec o stejném obsahu pouze za užití pravítka a kružítka.

Historie

Problém je zřejmě tak starý jako geometrie sama a zaměstnával matematiky po celá tisíciletí. Ačkoli jeho neřešitelnost byla spolehlivě dokázaná až roku 1882, už starověcí geometři měli velmi dobrou představu o jeho špatné uchopitelnosti. Hlavní překážkou je použití kružítka a pravítka bez stupnice. Pokud použijeme například pravítko se stupnicí, nebo třeba něco, co umí nakreslit Archimédovu spirálu, pak není příliš obtížné se s úlohou vypořádat.

Důkaz neřešitelnosti

Řešení vyžaduje geometrické sestrojení čísla <math>\sqrt{\pi}</math>. Problém je, že toto číslo je transcendentní. Neboli není algebraické, a tudíž nemůže být ani sestrojitelné. Transcendentnost čísla π byla dokázána roku 1882 Ferdinandem von Lindemannem. Pokud by se někomu podařilo vyřešit kvadraturu kruhu, našel by také nutně algebraickou hodnotu <math>\pi</math>, což je nemožné. Nicméně je možné sestrojit čtverec s obsahem libovolně blízkým obsahu daného kruhu.

Pokud se použije racionální aproximace čísla <math>\pi</math>, kvadratura je možná. Toto je však pouze přibližné řešení, které nesplňuje původní zadání problému. Je samozřejmé, že čím přesnější aproximace čísla <math>\pi</math> se použije, tím přesnější řešení získáme. Matematici již předvedli množství postupů, které k takovémuto přibližnému výsledku vedou.

Pokud se původní zadání oslabí v tom, že se povolí nekonečný počet kroků při konstrukci, potom je kvadratura také možná.

I když kvadratura kruhu je neuskutečnitelná v Euklidově prostoru, je možná v Gaussově-Bolyaiově-Lobačevského prostoru.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Kvadratura_kruhu“