Vektorový prostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:50

Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory. Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace (sčítání vektorů, násobení skalárem) společně s některými omezeními (asociativita atd.) Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.

Obsah

1 Formální definice
2 Základní vlastnosti
3 Příklady
4 Generátory vektorového prostoru
- 4.1 Související články
5 Externí odkazy

Formální definice

Vektorový prostor nad tělesem F (např. tělesem reálných čísel nebo komplexních čísel) je množina V společně se dvěma operacemi:

sčítání vektorů: V × V → V značeno v + w, kde v, w ∈ V
násobení skalárem: F × V → V značeno a v, kde a ∈ F ; v ∈ V.

splňující následující axiomy (pro každé a, b ∈ F a u, v, w ∈ V):

V společně se sčítáním vektorů tvoří komutativní grupu
1. Existuje neutrální prvek 0 ∈ V tak, že pro všechna v ∈ V, v + 0 = v. Prvek 0 se nazývá nulový vektor.
2. Pro všechna v ∈ V existuje opačný prvek w ∈ V tak, že v + w = 0. Vektor w bývá také označován jako opačný vektor k vektoru v a značen w = -v.
3. Sčítání vektorů je asociativní: u + (v + w) = (u + v) + w.
4. Sčítání vektorů je komutativní: v + w = w + v.
Násobení skalárem je asociativní: a(b v) = (ab)v.
1 v = v, kde 1 je jednotkový prvek tělesa F.
Distributivita:
1. a (v + w) = a v + a w.
2. (a + b) v = a v + b v.

Základní vlastnosti

Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

Nulový vektor 0 ∈ V je právě jeden.
a 0 = 0 pro všechna a ∈ F.
0 v = 0 pro všechna v ∈ V kde 0 je neutrální prvek pro sčítání v F.
a v = 0 právě tehdy, když a = 0 nebo v = 0.
Opačný prvek vektoru v pro sčítání vektorů je unikátní. Většinou se značí −v.
(−1)v = −v pro všechna v ∈ V.
(−a)v = a(−v) = −(av) pro všechna a ∈ F a v ∈ V.

Příklady

Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru.
Každé těleso spolu s operací sčítání a násobení prvkem tělesa je vektorovým prostorem samo nad sebou.
Množina R^m×n všech reálých matic typu m×n s operací sčítání matic a násobení skalárem je vektorový prostor.
Obecně množina všech matic typu m×n nad tělesem T je vektorovým prostorem.
Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R obvykle nazýváme reálným vektorovým prostorem. Obdobně lze nad tělesem komplexních čísel C vytvořit komplexní vektorový prostor.
Množina všech polynomů s koeficienty v T tvoří spolu s obvyklými operacemi sčítání polynomů a násobení prvkem z T vektorový prostor nad T.
Množina všech spojitých reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu \(\langle a,b \rangle</math>, jestliže pro funkce f, g z této množiny jsou definovány operace (f+g)(x)=f(x)+g(x) a (r f)(x)=r f(x) pro x ∈ R a r ∈ R. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
Definujme pro přirozené číslo n na množině Tⁿ všech uspořádaných n-tic prvků z množiny T binární operaci sčítání předpisem
\((a_1,a_2,...,a_n) + (b_1,b_2,...,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)</math>
a operaci násobení prvků z Tⁿ prvkem z tělesa T jako
\(r(a_1,a_2,...,a_n) = (r a_1,r a_2,...,r a_n)</math>.
Potom takovou množinu Tⁿ nazýváme aritmetickým vektorovým prostorem dimenze n nad tělesem T (nebo n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem T).

Generátory vektorového prostoru

Podmnožina M vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá množina generátorů prostoru V, jestliže je lineární obal této množiny roven celému prostoru V, tzn. \(\langle \mathbf{M} \rangle = V</math>. Říká se také, že M generuje V. Podmnožina M prostoru V generuje prostor V právě tehdy, když každý vektor z V je lineární kombinací vektorů z množiny M. Platí, že pokud je \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\}</math> množina generátorů prostoru V a každý z vektorů v₁,v₂,…,v_n je lineární kombinací vektorů u₁,u₂,…,u_n, pak také \(\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\}</math> je množinou generátorů prostoru V. Tzv. Steinitzova věta říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru V lineárně nezávislé vektory v₁, v₂, …, v_m a další vektory u₁, u₂, …, u_n takové, že každý vektor v_i lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u₁, u₂, …, u_n, pak \(m \leq n</math>.

Související články

Externí odkazy

Vektorový prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 32: / Řádka 32: @@
 * Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel '''R''' obvykle nazýváme ''reálným vektorovým prostorem''. Obdobně lze nad tělesem komplexních čísel '''C''' vytvořit ''komplexní vektorový prostor''.
 * Množina všech [[polynom]]ů s koeficienty v ''T'' tvoří spolu s obvyklými operacemi sčítání polynomů a násobení prvkem z ''T'' vektorový prostor nad ''T''.
-* Množina všech [[spojitá funkce|spojitých reálných funkcí]] definovaných na uzavřeném [[Interval (matematika)|intervalu]] <math>\langle a,b \rangle</math>, jestliže pro funkce ''f'', ''g'' z této množiny jsou definovány operace (''f''+''g'')(''x'')=''f''(''x'')+''g''(''x'') a (''r'' ''f'')(''x'')=''r'' ''f''(''x'') pro ''x'' ∈ '''R''' a ''r'' ∈ '''R'''. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
+* Množina všech [[spojitá funkce|spojitých reálných funkcí]] definovaných na uzavřeném [[Interval (matematika)|intervalu]] <big>\(\langle a,b \rangle</math>, jestliže pro funkce ''f'', ''g'' z této množiny jsou definovány operace (''f''+''g'')(''x'')=''f''(''x'')+''g''(''x'') a (''r'' ''f'')(''x'')=''r'' ''f''(''x'') pro ''x'' ∈ '''R''' a ''r'' ∈ '''R'''. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
-* Definujme pro [[přirozené číslo]] ''n'' na množině ''T''<sup>''n''</sup> všech [[uspořádaná n-tice|uspořádaných n-tic]] prvků z množiny ''T'' [[binární operace|binární operaci]] sčítání předpisem <br><math>(a_1,a_2,...,a_n) + (b_1,b_2,...,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)</math><br> a operaci násobení prvků z ''T''<sup>''n''</sup> prvkem z tělesa ''T'' jako <br><math>r(a_1,a_2,...,a_n) = (r a_1,r a_2,...,r a_n)</math>.<br> Potom takovou množinu ''T''<sup>''n''</sup> nazýváme ''aritmetickým vektorovým prostorem'' [[dimenze]] ''n'' nad tělesem ''T'' (nebo ''n''-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem ''T'').
+* Definujme pro [[přirozené číslo]] ''n'' na množině ''T''<sup>''n''</sup> všech [[uspořádaná n-tice|uspořádaných n-tic]] prvků z množiny ''T'' [[binární operace|binární operaci]] sčítání předpisem <br><big>\((a_1,a_2,...,a_n) + (b_1,b_2,...,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)</math><br> a operaci násobení prvků z ''T''<sup>''n''</sup> prvkem z tělesa ''T'' jako <br><big>\(r(a_1,a_2,...,a_n) = (r a_1,r a_2,...,r a_n)</math>.<br> Potom takovou množinu ''T''<sup>''n''</sup> nazýváme ''aritmetickým vektorovým prostorem'' [[dimenze]] ''n'' nad tělesem ''T'' (nebo ''n''-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem ''T'').
 ==Generátory vektorového prostoru==
-[[Podmnožina]] '''M''' vektorového prostoru ''V'' nad tělesem ''T'' se nazývá ''množina [[generátor (algebra)|generátorů]]'' prostoru ''V'', jestliže je [[lineární obal]] této množiny roven celému prostoru ''V'', tzn. <math>\langle \mathbf{M} \rangle = V</math>. Říká se také, že '''M''' generuje ''V''.
+[[Podmnožina]] '''M''' vektorového prostoru ''V'' nad tělesem ''T'' se nazývá ''množina [[generátor (algebra)|generátorů]]'' prostoru ''V'', jestliže je [[lineární obal]] této množiny roven celému prostoru ''V'', tzn. <big>\(\langle \mathbf{M} \rangle = V</math>. Říká se také, že '''M''' generuje ''V''.
 Podmnožina '''M''' prostoru ''V'' generuje prostor ''V'' právě tehdy, když každý vektor z ''V'' je [[lineární kombinace|lineární kombinací]] vektorů z množiny '''M'''.
-Platí, že pokud je <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\}</math> množina generátorů prostoru ''V'' a každý z vektorů '''v'''<sub>1</sub>,'''v'''<sub>2</sub>,…,'''v'''<sub>n</sub> je lineární kombinací vektorů '''u'''<sub>1</sub>,'''u'''<sub>2</sub>,…,'''u'''<sub>n</sub>, pak také <math>\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\}</math> je množinou generátorů prostoru ''V''.
+Platí, že pokud je <big>\(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\}</math> množina generátorů prostoru ''V'' a každý z vektorů '''v'''<sub>1</sub>,'''v'''<sub>2</sub>,…,'''v'''<sub>n</sub> je lineární kombinací vektorů '''u'''<sub>1</sub>,'''u'''<sub>2</sub>,…,'''u'''<sub>n</sub>, pak také <big>\(\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\}</math> je množinou generátorů prostoru ''V''.
-Tzv. ''[[Steinitzova věta o výměně|Steinitzova věta]]'' říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru ''V'' [[lineární nezávislost|lineárně nezávislé]] vektory '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, …, '''v'''<sub>m</sub> a další vektory '''u'''<sub>1</sub>, '''u'''<sub>2</sub>, …, '''u'''<sub>n</sub> takové, že každý vektor '''v'''<sub>i</sub> lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů '''u'''<sub>1</sub>, '''u'''<sub>2</sub>, …, '''u'''<sub>n</sub>, pak <math>m \leq n</math>.
+Tzv. ''[[Steinitzova věta o výměně|Steinitzova věta]]'' říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru ''V'' [[lineární nezávislost|lineárně nezávislé]] vektory '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, …, '''v'''<sub>m</sub> a další vektory '''u'''<sub>1</sub>, '''u'''<sub>2</sub>, …, '''u'''<sub>n</sub> takové, že každý vektor '''v'''<sub>i</sub> lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů '''u'''<sub>1</sub>, '''u'''<sub>2</sub>, …, '''u'''<sub>n</sub>, pak <big>\(m \leq n</math>.
 === Související články ===