V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Gaussův integrál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 3 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Gaussův integrál|700}}
+
[[Soubor:E^(-x^2).png|thumb|310px|Graf ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> a plochy mezi funkcí a osou ''x''; tato plocha se rovná <big>\( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)</big>]]
 +
'''Gaussův integrál''', také známý jako '''Eulerův-Poissonův integrál''' či '''Poissonův integrál''',<ref>[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00063/81000.htm Пуассона интеграл], БСЭ</ref> je [[integrál]] [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> přes celou reálnou osu, tedy
 +
 +
:<big>\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)</big>
 +
 +
Jména tomuto integrálu dali matematici  [[Carl Friedrich Gauss]], [[Leonhard Euler]] a [[Siméon Denis Poisson]].
 +
 +
== Výpočet ==
 +
Integrál [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] označíme <big>\(Y\)</big>.
 +
:<big>\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)</big>
 +
 +
Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme <big>\(y\)</big>.
 +
:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)</big>
 +
 +
Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.
 +
 +
:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)</big>
 +
 +
[[Graf funkce|Graf]] této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu [[Říp]]) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi <big>\((x,y)\)</big>. Integrál představuje [[objem]] kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu [[polární soustava souřadnic]] <big>\((\varphi,r)\)</big>, do kterých funkci přepíšeme.
 +
 +
:<big>\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)</big>
 +
Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou [[per partes]] a jeho hodnota je <big>\(\pi\)</big>. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.
 +
:<big>\(Y = \sqrt{\pi}\)</big>
 +
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
== Externí odkazy ==
 +
* Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Integrální počet]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Graf ƒ(x) = e−x2 a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná \( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,[1] je integrál Gaussovy funkce e−x2 přes celou reálnou osu, tedy

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme \(Y\).

\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme \(y\).

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi \((x,y)\). Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic \((\varphi,r)\), do kterých funkci přepíšeme.

\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)

Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou per partes a jeho hodnota je \(\pi\). Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

\(Y = \sqrt{\pi}\)

Reference

  1. ↑ Пуассона интеграл, БСЭ

Externí odkazy

  • Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Gauss%C5%AFv_integr%C3%A1l“