Sinová věta

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:53

Trojúhelník ABC

V trigonometrii je sinová věta důležité tvrzení o rovinných trojúhelnících. Nejčastěji zní takto:

Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí:

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\).

Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot sinů jim protilehlých úhlů je v trojúhelníku konstantní.“

Větu lze ovšem zformulovat také takto:

\(\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\) , či takto: \(\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}\) , nebo takto: \(\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}\),

s významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“

Věta se používá zejména v následujících dvou případech:

Máme dány dva úhly trojúhelníku a délku jedné jeho strany a chceme dopočítat velikosti zbývajících stran. To je typická úloha při triangulaci.
Známe délky dvou stran trojúhelníku a velikost vnitřního úhlu který nesvírají, a chceme zjistit zbývající úhly. V tomto případě se ovšem stává, že nám věta poskytne dvojici řešení, z nichž však pouze jedno dává součet úhlů 180° a tedy umožní sestavit trojúhelník.

Důkaz věty

Mějme trojúhelník ABC. Bod P je pata výšky v_c. Pak

\(\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha\)

a zároveň

\(\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta\).

Pak tedy

\(a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha\),

což je totéž jako

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\).

Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.

Čtverec

Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem dvou mi uhlopříček \(sin(90) = 1 = sin(45)/sin(45)\)

tedy poloměr stran = 4:4 =1:1 a*a z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce

\(S=a^2\)

Průměr kružnice opsané trojúhelníku

Konstantní poměr délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané. Tedy:

\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d\)

z čehož lze odvodit také její poloměr

\(\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r\)

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 3: / Řádka 3: @@
 Pro každý trojúhelník ABC s&nbsp;vnitřními [[úhel|úhly]] α, β, γ a stranami ''a'', ''b'', ''c'' platí:
-:<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}</math>.
+:<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}\)</big>.
 Neboli: „Poměr všech délek stran a hodnot [[sinus|sinů]] jim protilehlých úhlů je v&nbsp;trojúhelníku konstantní.“
@@ Řádka 9: / Řádka 9: @@
 Větu lze ovšem zformulovat také takto:
-:<big>\(\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}</math> , či takto: <big>\(\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}</math> , nebo takto: <big>\(\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}</math>,
+:<big>\(\frac{a}{b} = \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\)</big> , či takto: <big>\(\frac{b}{c} = \frac{\sin \beta}{\sin \gamma}\)</big> , nebo takto: <big>\(\frac{c}{a} = \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha}\)</big>,
 s&nbsp;významem: „Poměr délek stran trojúhelníku se rovná poměru sinů velikostí jim protilehlých úhlů.“
@@ Řádka 18: / Řádka 18: @@
 == Důkaz věty ==
 Mějme trojúhelník ''ABC''. Bod ''P'' je pata výšky ''v<sub>c</sub>''. Pak
-:<big>\(\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha</math>
+:<big>\(\left|CP\right| = \left|AC\right|\cdot \sin \alpha = b \cdot \sin \alpha\)</big>
 a zároveň
-:<big>\(\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta</math>.
+:<big>\(\left|CP\right| = \left|BC\right|\cdot \sin \beta = a \cdot \sin \beta\)</big>.
 Pak tedy
-:<big>\(a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha</math>,
+:<big>\(a \cdot \sin \beta = b \cdot \sin \alpha\)</big>,
 což je totéž jako
-:<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}</math>.
+:<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}\)</big>.
 Ostatní rovnosti lze získat cyklickou záměnou stran.
@@ Řádka 30: / Řádka 30: @@
 Jsou tedy 2 pravoúhlé trojúhelníky  nebo 4 pravoúhlé trojúhelníky s průmětem  dvou mi uhlopříček
-<big>\(sin(90) = 1  = sin(45)/sin(45)</math>
+<big>\(sin(90) = 1  = sin(45)/sin(45)\)</big>
 tedy poloměr stran '''= 4:4 =1:1 a*a''' z toho lze vyvodit vzorec pro výpočet obsahu čtverce
-<big>\(S=a^2</math>
+<big>\(S=a^2\)</big>
 == Průměr kružnice opsané trojúhelníku ==
 Konstantní [[poměr]] délek stran a jim protilehlých úhlů je zároveň '''průměrem kružnice danému trojúhelníku opsané'''. Tedy:
-:<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d</math>
+:<big>\(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = d\)</big>
 z&nbsp;čehož lze odvodit také její poloměr
-:<big>\(\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r</math>
+:<big>\(\frac{a}{2\cdot\sin \alpha} = \frac{b}{2\cdot\sin \beta} = \frac{c}{2\cdot\sin \gamma} = r\)</big>
 == Související články ==