Ordinální aritmetika

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 22:01

Ordinální aritmetika je jednou z disciplín klasické teorie množin. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací (sčítání, násobení, mocnění) z přirozených čísel na všechna ordinální čísla (včetně nekonečných). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných dobrých uspořádání. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá kardinální aritmetika.

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké alfabety používána pro označení ordinálů.

Ordinální čísla a jejich vlastnosti

Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku Ordinální číslo.

Definice ordinálního součtu a součinu

Jsou-li \( \alpha \,\!\) a \( \beta \,\!\) dvě ordinální čísla, pak:

• jako \( \alpha + \beta \,\!\) označíme ordinální číslo, které je typem množiny \( ( \{ 0 \} \times \alpha ) \cup ( \{ 1 \} \times \beta ) \) v lexikografickém uspořádání
• jako \( \alpha . \beta \,\!\) označíme ordinální číslo, které je typem množiny \( \beta \times \alpha \) v lexikografickém uspořádání.

Typem dobře uspořádané množiny se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací \( \in \) izomorfní s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

Příklady součtu dvou ordinálních čísel

Součet 3 + 2:
\( ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) = \)
\( ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = \)
\( \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = \)
\( \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!\)
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet \( 1 + \omega_0 \,\!\) (jako \( \omega_0 \,\!\) se značí množina všech přirozených čísel)
\( ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = \)
\( ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = \)
\( \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = \)
\( \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!\)
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je \( \omega_0 \,\!\), takže \( 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!\). Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat \( \omega_0 + 1 \,\!\). Dojde k překvapivému zjištění:
\( 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!\)

Příklady součinu dvou ordinálních čísel

Součin 3.2:
\( 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = \)
\( \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!\)
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin \( 2.\omega_0 \,\!\)
: \( \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\! \)
\( \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! \)
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je \( \omega_0 \,\!\).

Obrátím-li poslední příklad na \( \omega_0 . 2 \,\!\), dostávám množinu
\( \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!\),
jejímž typem již není \( \omega_0 \,\!\), ale větší ordinální číslo \( \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!\)

Rozhodně opět \( 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! \).

Vlastnosti ordinálního součtu a součinu

Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v Peanově aritmetice. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je modelem Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou komutativní a ordinální součin je distributivní pouze zleva:
\( ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) \)
Opačně to ale neplatí, protože například: \( (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 \) - viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech):

• \( \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!\)
• \( \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!\)
• \( \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!\)
• \( \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!\)
• \( \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!\)

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech:
Pro každé dva ordinály \( \alpha, \beta, \beta > 0 \,\!\) existují \( \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\!\) takové, že
\( \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!\)

Definice ordinální mocniny

Ordinální mocnina mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem:

1. \( \alpha^0 = 1 \,\!\)
2. \( \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!\)
3. pro limitní ordinál \( \beta \,\!\) je \( \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!\)
   sup v tomto výrazu znamená supremum dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací \( \in \)

Vlastnosti ordinální mocniny

Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali:

• \( 0^0 = 1 \,\!\)
• \( 0^{\alpha} = 0 \,\!\) pro \( \alpha > 0 \,\!\)
• \( 1^{\alpha} = 1 \,\!\)
• \( \alpha^1 = \alpha \,\!\)
• \( \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!\)

A především:

• \( \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!\)
• \( (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!\)

Mocninný rozvoj ordinálního čísla

Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ \( \omega_0 \,\!\) - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li \( \omega = \omega_0 \,\!\) množina přirozených čísel a \( \alpha \,\!\) libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla \( k, m_0, m_1,...,m_k \,\!\) a ordinály \( \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!\) takové, že platí:
\( \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!\)

Tento zápis nazýváme Cantorův normální tvar ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla \(\,\alpha\) v Cantorově normálním tvaru platí \(\alpha\geq\beta_0\), přičemž rovnost nastává právě tehdy, když \(\,\alpha=\omega^\alpha\). Takových \(\,\alpha\) existuje dokonce vlastní třída, nejmenší z nich se nazývá \(\varepsilon_0\). Pro \(\,\alpha<\varepsilon_0\) tedy je \(\,\alpha>\beta_0\), což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.

Související články

• Ordinální číslo
• Kardinální číslo
• Kardinální aritmetika
• Goodsteinova posloupnost
• Transfinitní indukce
• Transfinitní rekurze