V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Teorie množin

Z Multimediaexpo.cz

Teorie množin je matematická teorie, která se zabývá množinami. Z formálního pohledu jsou veškeré objekty moderní matematiky množiny – číslo je formálně množina, zobrazení je formálně množina, stejně jako všechny ostatní relace.

Zjednodušeně by se dalo říci, že zatímco matematická logika poskytuje moderní matematice nástroje, jak pracovat – jazyk matematických vět a důkazů, teorie množin jí poskytuje potravu - svět objektů, na kterých může tímto nástrojem (jazykem) pracovat. Požadavkem samozřejmě je, aby tento svět byl natolik obsáhlý a rozmanitý, ale zároveň „logický“, aby v něm mohly ostatní matematické teorie (algebra, matematická analýza) smysluplně existovat, a zároveň vnitřně bezesporný z pohledu formální logiky.

Příkladem mohou být přirozená čísla. Z intuitivního pohledu běžné školské matematiky se jedná o „počty“ objektů v jejich konečných (tedy v reálném vesmíru vlastně všech myslitelných) souborech. Na těchto počtech si pak můžu zavést nejrůznější další pojmy a struktury, které mě zajímají – seřadit si je podle velikosti, zavést operace sčítání, odčítání, zavést pojem dělitelnost, kongruence a tak dále.

Z pohledu formalizované teorie množin jsou přirozená čísla množiny – a to množiny, které mají takovou strukturu a vzájemné vztahy, aby na nich bylo možné modelovat všechny vlastnosti, o které se zajímá výše uvedená běžná teorie přirozených čísel. Úlohou teorie množin je tedy zajistit, aby v pokud možno bezesporné formě existovala ve vesmíru matematiky struktura množin modelujících intuitivní chování přirozených čísel – jejich konkrétní vlastnosti jako je dělitelnost pak už přenechává konkrétní matematické disciplíně.

Dodejme ještě, že již na úrovni zdánlivě jednoduché struktury, jako jsou přirozená čísla, klade teorie množin některé netriviální filosofické otázky – například má smysl existence (nekonečné) množiny, která obsahuje všechna přirozená čísla? Většinový názor reprezentovaný Zermelo-Fraenkelovou teorií množin odpovídá kladně tím, že obsahuje axiom nekonečna. Jiné soustavy teorie se s tímto problémem vypořádávají mnohem opatrněji a díky tomu také obtížněji – viz například Vopěnkova Alternativní teorie množin.

O tom, že se jedná o hodně zapeklitý problém, se lze přesvědčit například v Gödelových větách o neúplnosti.

Obsah

Historie teorie množin

Za praotce teorie množin lze považovat Bernarda Bolzana. Ve své knize Paradoxy nekonečna z poloviny 19.století se jako první matematik a filosof věnuje vlastnostem nekonečných objektů (těžko zde ještě mluvit o množinách).
Je-li Bolzano praotcem, pak otcem je bezesporu Georg Cantor, který během druhé poloviny 19. století položil základy teorie množin jako samostatné matematické disciplíny a zveřejnil některé její základní netriviální poznatky - viz například Cantorova diagonální metoda, Cantorova věta, Cantorova-Bernsteinova věta.
Cantorovská teorie množin se specificky zabývala především nekonečnými množinami čísel a pojem množina chápala intuitivně - jako soubor objektů, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, které objekty do něj patří a které nikoliv. Často je dnes proto (možná trochu nespravedlivě) nazývána naivní teorií množin.

Rychlý rozvoj této matematické disciplíny vedl na přelomu 19. a 20. století k objevení paradoxů teorie množin (Russellův paradox, Burali-Fortiho paradox), které způsobily zásadní krizi ve filosofii matematiky. Tato krize vedla k přísné formalizaci teorie množin (a tím i celé matematiky) — jejím výsledkem byl vznik axiomatických systémů, z nichž největší životnost v průběhu 20.století ukázaly dva dnes nejběžněji používané: Zermelova-Fraenkelova teorie množin a Von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teorie množin.

O čem pojednává teorie množin

Pojmy jako množina podmnožina, prvek, sjednocení a průnik tvoří základní aparát teorie množin, který si od ní vypůjčují ostatní matematické teorie. Teorie množin zároveň poskytuje ostatním matematickým teoriím struktury, na kterých pracují — formalizované množiny čísel (přirozená čísla, reálná čísla), aparát pro práci se vztahy (relace).

To, co dělá teorii množin opravdu zajímavou, je zkoumání vztahů mezi nekonečnými množinami — právě sem spadají její nejsilnější výsledky (viz Ordinální čísla, Kardinální čísla, Ramseyovy rozklady). Druhou oblastí, která je specifická pro teorii množin (v úzkém provázání s logikou), je testování (z hlediska bezespornosti a nezávislosti) axiomů — viz Axiom výběru, Axiom konstruovatelnosti.

Jazyk teorie množin

V jednotlivých článcích celé sekce věnované teorii množin je používána řada matematických značek, některé běžné, některé poněkud exotické:

Logické operátory

  • \((\forall a)\) — „pro každou množinu a“
  • \((\exists a)\) — „existuje množina a“
  • \(V_1 \land V_2\) — „platí zároveň výroky \(V_1\) i \(V_2\)“ (Konjunkce)
  • \(V_1 \vee V_2\) — „platí výrok \(V_1\) nebo \(V_2\)“ (Disjunkce)
  • \(V_1 \implies V_2\) — „z výroku \(V_1\) vyplývá \(V_2\)“ (Implikace)
  • \(V_1 \Leftrightarrow V_2\) — „výroky \(V_1\) a \(V_2\) jsou ekvivalentní — platí výhradně zároveň“ (Ekvivalence)

Operátory teorie množin

  • \(\emptyset\) — prázdné množina (neobsahující žádné prvky)
  • \(a \in b\) — množina \(a\) je prvkem množiny \(b\)
  • \(a = b\) — množiny \(a\) a \(b\) jsou shodné (mají stejné prvky — \((\forall x)(x \in a \Leftrightarrow x \in b)\))
  • \(\{ a,b,c \}\) — množina obsahujcí vyčtené prvky — v tomto případě obsahuje tři prvky — \(a,b,c\)
  • \(\{ a : V(a) \}\) — množina obsahujcí právě všechny množiny, pro které platí výrok \(V\)
  • \(a \subseteq b\) — množina \(a\) je podmnožinou množiny \(b\) — obsahuje pouze prvky z \(b\)
  • \(a \cup b\) — sjednocení dvou množin: \(a \cup b = \{ x: x \in a \vee x \in b \}\)
  • \(a \cap b\) — průnik dvou množin: \(a \cap b = \{ x: x \in a \land x \in b \}\)
  • \(\bigcup a\) — sjednocení všech prvků \(a\): \(\bigcup a = \{ x: (\exists y)(x \in y \land y \in a) \}\)
  • \(\bigcap a\) — průnik všech prvků \(a\): \(\bigcap a = \{ x: (\forall y)(y \in a \implies x \in y ) \}\)

Reference

  • B. Balcar, P. Štěpánek: Teorie množin, Academia, Praha 1986

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Teorie_mno%C5%BEin“