V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Weierstrassova funkce

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Weierstrassova funkce|700}}
+
[[Soubor:Weierf.png|thumb|260px|Weierstrassova funkce s konstantami <math>a=0,5</math>; <math>b=3</math>.]]
 +
[[Soubor:WeierstrassFunction.png|260px|thumb|Ukázka soběpodobnosti.]]
 +
'''Weierstrassova funkce''', pojmenovaná po [[Německo|německém]] matematikovi Karlu Weierstrassovi (1815–1897), je [[matematika|matematická]] [[Funkce (matematika)|funkce]], která je ve všech [[bod]]ech [[Spojitá funkce|spojitá]], ale v žádném bodě nemá [[derivace|derivaci]].
 +
Funkce se chová jako [[fraktál]], neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.<ref name="conroy">[http://www.math.washington.edu/~conroy/general/weierstrass/weier.htm Příklad Weierstrassovy funkce, ukázka soběpodobnosti: http://www.math.washington.edu/…]</ref>
 +
 +
== Definice ==
 +
Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.
 +
 +
* Podle původní publikace ([http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=00770001&seq=&view=50&frames=0&pagenum=97 http://historical.library.cornell.edu/…]) a [http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassFunction.html http://planetmath.org/…]:
 +
 +
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)</math>
 +
 +
:kde <math>0<a<1</math>, <math>b</math> je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.
 +
 +
:<math> ab > 1+\frac{3}{2} \pi</math>
 +
 +
:Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou <math>ab \ge 1</math>.
 +
 +
* Podle [http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassFunction.html http://mathworld.wolfram.com/…]:
 +
 +
[[Soubor:Riemannf.png|thumb|260px|Riemannova funkce, <math>a=2</math>.]]
 +
 +
:<math>f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,</math>
 +
 +
:přičemž údajně podle původní publikace <math>a = 2</math>. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů<ref>http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html</ref> je tato funkce nazývána ''Riemannova'', neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.
 +
 +
* Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.<ref name="conroy" /><ref>http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html</ref>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Rozumná funkce]]
 +
* [[Riemannova funkce]]
 +
 +
== Reference ==
 +
<references />
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Diferenciální počet]]
[[Kategorie:Diferenciální počet]]
[[Kategorie:Fraktály]]
[[Kategorie:Fraktály]]
[[Kategorie:Matematické funkce]]
[[Kategorie:Matematické funkce]]

Verze z 9. 11. 2015, 01:12

Weierstrassova funkce s konstantami <math>a=0,5</math>; <math>b=3</math>.
Ukázka soběpodobnosti.

Weierstrassova funkce, pojmenovaná po německém matematikovi Karlu Weierstrassovi (1815–1897), je matematická funkce, která je ve všech bodech spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci.

Funkce se chová jako fraktál, neboť zvětšené části grafu a původní graf jsou podobné.[1]

Definice

Weierstrassova funkce bývá uváděna v různých tvarech s různými konstantami.

<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a^n\cos(b^n\pi x)</math>
kde <math>0<a<1</math>, <math>b</math> je kladné liché číslo a konstanty splňují následující podmínku.
<math> ab > 1+\frac{3}{2} \pi</math>
Později bylo dokázáno, že poslední uvedenou podmínku lze nahradit podmínkou <math>ab \ge 1</math>.
Riemannova funkce, <math>a=2</math>.
<math>f_a(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{ \sin(\pi k^a x) } {\pi k^a} \,</math>
přičemž údajně podle původní publikace <math>a = 2</math>. Tato funkce má však v určitých izolovaných bodech konečné derivace. Podle jiných zdrojů[2] je tato funkce nazývána Riemannova, neboť podle Weierstrasse ji Bernhard Riemann uváděl na svých přednáškách okolo roku 1861.
  • Lze nalézt i jiné tvary nebo konkrétní konstanty.[1][3]

Související články

Reference

  1. ↑ 1,0 1,1 Příklad Weierstrassovy funkce, ukázka soběpodobnosti: http://www.math.washington.edu/…
  2. ↑ http://epubl.ltu.se/1402-1617/2003/320/index-en.html
  3. ↑ http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/cont/fp_weier.html


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Weierstrassova_funkce“