The English encyclopedia Allmultimedia.org will be launched in two phases.
The final launch of the Allmultimedia.org will take place on February 27, 2026
(shortly after the 2026 Winter Olympics).

Minkowského prostor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Minkowského prostor|700}}
+
'''Minkowského prostor''' se používá k popisu [[časoprostor]]u ve [[speciální teorie relativity|speciální teorii relativity]]. Matematicky jde o 4-rozměrný [[reálné číslo|reálný]] lineární [[vektorový prostor]] se [[skalární součin|skalárním součinem]]. Změnu [[inerciální vztažná soustava|inerciální vztažné soustavy]] odpovídající [[Lorentzova transformace|Lorentzově transformaci]] lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou [[čtyřvektor]]y všech fyzikálních veličin.
 +
== Složky vektoru ==
 +
Vektor v Minkowského prostoru  <math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> má 4 souřadnice
 +
:<math>a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.</math>
 +
První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <math>t</math>, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím <math>x,y,z</math>. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi [[sekunda|sekundou]] a [[metr]]em je dán [[rychlost světla|rychlostí světla]] ve vakuu <math>c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}</math>. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá <math>c=1</math>. Vizte též [[přirozená soustava jednotek]].
 +
 +
== Skalární součin ==
 +
[[Skalární součin]] dvou vektorů v Minkowského prostoru (<math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> ) je definován vztahem
 +
:<math>\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.</math>
 +
Jako v [[Eukleidovský prostor|eukleidovském prostoru]], dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.
 +
 +
== Minkowského norma ==
 +
Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než [[Eukleidovská norma]], protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.
 +
:<math>||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle  =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2</math>
 +
Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <math>||\mathbf{a}||^2=\pm 1</math>.
 +
 +
== Báze ==
 +
Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 [[ortogonalita|ortogonální]] jednotkové vektory <math>\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math>, pro které platí
 +
:<math>-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.</math>
 +
Tuto podmínku lze stručně zapsat jako
 +
:<math>\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,</math>
 +
kde <math>\eta</math> je diagonální matice
 +
:<math>\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.</math>
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Vektorový prostor]]
 +
* [[Čtyřvektor]]
 +
* [[Lorentzova transformace]]
 +
 +
== Externí odkazy ==
 +
* {{MathWorld|id=MinkowskiSpace}}
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Lineární algebra]]
[[Kategorie:Lineární algebra]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]
[[Kategorie:Speciální teorie relativity]]

Verze z 27. 2. 2014, 09:40

Minkowského prostor se používá k popisu časoprostoru ve speciální teorii relativity. Matematicky jde o 4-rozměrný reálný lineární vektorový prostor se skalárním součinem. Změnu inerciální vztažné soustavy odpovídající Lorentzově transformaci lze chápat geometricky jako otáčení v Minkowského prostoru. Stejnou rotací přitom projdou čtyřvektory všech fyzikálních veličin.

Obsah

Složky vektoru

Vektor v Minkowského prostoru <math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> má 4 souřadnice

<math>a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.</math>

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <math>t</math>, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím <math>x,y,z</math>. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi sekundou a metrem je dán rychlostí světla ve vakuu <math>c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}</math>. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá <math>c=1</math>. Vizte též přirozená soustava jednotek.

Skalární součin

Skalární součin dvou vektorů v Minkowského prostoru (<math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> ) je definován vztahem

<math>\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.</math>

Jako v eukleidovském prostoru, dva vektory nazýváme kolmými (ortogonálními), jestliže jejich skalární součin je roven nule.

Minkowského norma

Norma vektoru v Minkowského prostoru má trochu jiné vlastnosti než Eukleidovská norma, protože popisuje odlišnou geometrii. Předně, Minkowského norma není pozitivně definitní, může tedy nabývat i záporných hodnot. Je definována jako skalární součin vektoru se sebou samým.

<math>||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2</math>

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <math>||\mathbf{a}||^2=\pm 1</math>.

Báze

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 ortogonální jednotkové vektory <math>\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math>, pro které platí

<math>-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.</math>

Tuto podmínku lze stručně zapsat jako

<math>\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,</math>

kde <math>\eta</math> je diagonální matice

<math>\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.</math>

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Minkowsk%C3%A9ho_prostor“