Vektorový prostor

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:54

Vektorový prostor (též lineární prostor) je základním objektem studia lineární algebry. Prvky vektorového prostoru se nazývají vektory. Při zavádění vektorů lze uvažovat některé operace (sčítání vektorů, násobení skalárem) společně s některými omezeními (asociativita atd.) Tím dospějeme k matematické struktuře zvané vektorový prostor.

Formální definice

Vektorový prostor nad tělesem F (např. tělesem reálných čísel nebo komplexních čísel) je množina V společně se dvěma operacemi:

• sčítání vektorů: V × V → V značeno v + w, kde v, w ∈ V
• násobení skalárem: F × V → V značeno a v, kde a ∈ F ; v ∈ V.

splňující následující axiomy (pro každé a, b ∈ F a u, v, w ∈ V):

1. V společně se sčítáním vektorů tvoří komutativní grupu
   1. Existuje neutrální prvek 0 ∈ V tak, že pro všechna v ∈ V, v + 0 = v. Prvek 0 se nazývá nulový vektor.
   2. Pro všechna v ∈ V existuje opačný prvek w ∈ V tak, že v + w = 0. Vektor w bývá také označován jako opačný vektor k vektoru v a značen w = -v.
   3. Sčítání vektorů je asociativní: u + (v + w) = (u + v) + w.
   4. Sčítání vektorů je komutativní: v + w = w + v.
2. Násobení skalárem je asociativní: a(b v) = (ab)v.
3. 1 v = v, kde 1 je jednotkový prvek tělesa F.
4. Distributivita:
   1. a (v + w) = a v + a w.
   2. (a + b) v = a v + b v.

Základní vlastnosti

Z definice vektorového prostoru lze dokázat například tyto vlastnosti:

• Nulový vektor 0 ∈ V je právě jeden.
• a 0 = 0 pro všechna a ∈ F.
• 0 v = 0 pro všechna v ∈ V kde 0 je neutrální prvek pro sčítání v F.
• a v = 0 právě tehdy, když a = 0 nebo v = 0.
• Opačný prvek vektoru v pro sčítání vektorů je unikátní. Většinou se značí −v.
• (−1)v = −v pro všechna v ∈ V.
• (−a)v = a(−v) = −(av) pro všechna a ∈ F a v ∈ V.

Příklady

• Vektorový prostor obsahující pouze nulový vektor se označuje jako nulový (nebo triviální) vektorový prostor. Triviální prostor je nejjednodušším příkladem vektorového prostoru.
• Každé těleso spolu s operací sčítání a násobení prvkem tělesa je vektorovým prostorem samo nad sebou.
• Množina R^m×n všech reálých matic typu m×n s operací sčítání matic a násobení skalárem je vektorový prostor.
• Obecně množina všech matic typu m×n nad tělesem T je vektorovým prostorem.
• Vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R obvykle nazýváme reálným vektorovým prostorem. Obdobně lze nad tělesem komplexních čísel C vytvořit komplexní vektorový prostor.
• Množina všech polynomů s koeficienty v T tvoří spolu s obvyklými operacemi sčítání polynomů a násobení prvkem z T vektorový prostor nad T.
• Množina všech spojitých reálných funkcí definovaných na uzavřeném intervalu \(\langle a,b \rangle\), jestliže pro funkce f, g z této množiny jsou definovány operace (f+g)(x)=f(x)+g(x) a (r f)(x)=r f(x) pro x ∈ R a r ∈ R. Množina těchto funkcí tvoří reálný vektorový prostor.
• Definujme pro přirozené číslo n na množině Tⁿ všech uspořádaných n-tic prvků z množiny T binární operaci sčítání předpisem
  \((a_1,a_2,...,a_n) + (b_1,b_2,...,b_n) = (a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)\)
  a operaci násobení prvků z Tⁿ prvkem z tělesa T jako
  \(r(a_1,a_2,...,a_n) = (r a_1,r a_2,...,r a_n)\).
  Potom takovou množinu Tⁿ nazýváme aritmetickým vektorovým prostorem dimenze n nad tělesem T (nebo n-rozměrným aritmetickým vektorovým prostorem nad tělesem T).

Generátory vektorového prostoru

Podmnožina M vektorového prostoru V nad tělesem T se nazývá množina generátorů prostoru V, jestliže je lineární obal této množiny roven celému prostoru V, tzn. \(\langle \mathbf{M} \rangle = V\). Říká se také, že M generuje V. Podmnožina M prostoru V generuje prostor V právě tehdy, když každý vektor z V je lineární kombinací vektorů z množiny M. Platí, že pokud je \(\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_n\}\) množina generátorů prostoru V a každý z vektorů v₁,v₂,…,v_n je lineární kombinací vektorů u₁,u₂,…,u_n, pak také \(\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,...,\mathbf{u}_n\}\) je množinou generátorů prostoru V. Tzv. Steinitzova věta říká, že pokud máme ve vektorovém prostoru V lineárně nezávislé vektory v₁, v₂, …, v_m a další vektory u₁, u₂, …, u_n takové, že každý vektor v_i lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u₁, u₂, …, u_n, pak \(m \leq n\).

Související články

• Báze
• Dimenze
• Podprostor
• Afinní prostor
• Metrický prostor

Externí odkazy

• Vektorový prostor v encyklopedii MathWorld (anglicky)