Gaussův integrál

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Graf ƒ(x) = e^−x² a plochy mezi funkcí a osou x; tato plocha se rovná \( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)

Gaussův integrál, také známý jako Eulerův-Poissonův integrál či Poissonův integrál,^[1] je integrál Gaussovy funkce e^−x² přes celou reálnou osu, tedy

\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)

Jména tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovy funkce označíme \(Y\).

\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)

Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme \(y\).

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)

Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.

\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

Graf této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu Říp) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi \((x,y)\). Integrál představuje objem kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu polární soustava souřadnic \((\varphi,r)\), do kterých funkci přepíšeme.

\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)

Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou per partes a jeho hodnota je \(\pi\). Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.

\(Y = \sqrt{\pi}\)

Reference

↑ Пуассона интеграл, БСЭ

Externí odkazy

Kvasnica J.: Matematický aparát fyzika

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

[0] Пуассона интеграл, БСЭ

[1]

@@ Řádka 1: / Řádka 1: @@
-[[Soubor:E^(-x^2).png|thumb|310px|Graf ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> a plochy mezi funkcí a osou ''x''; tato plocha se rovná <big>\( \scriptstyle\sqrt{\pi} </math>]]
+[[Soubor:E^(-x^2).png|thumb|310px|Graf ''ƒ''(''x'') =&nbsp;''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> a plochy mezi funkcí a osou ''x''; tato plocha se rovná <big>\( \scriptstyle\sqrt{\pi} \)</big>]]
 '''Gaussův integrál''', také známý jako '''Eulerův-Poissonův integrál''' či '''Poissonův integrál''',<ref>[http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00063/81000.htm Пуассона интеграл], БСЭ</ref> je [[integrál]] [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> přes celou reálnou osu, tedy
-:<big>\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.</math>
+:<big>\(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.\)</big>
 Jména tomuto integrálu dali matematici  [[Carl Friedrich Gauss]], [[Leonhard Euler]] a [[Siméon Denis Poisson]].
 == Výpočet ==
-Integrál [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] označíme <big>\(Y</math>.
+Integrál [[Gaussova funkce|Gaussovy funkce]] označíme <big>\(Y\)</big>.
-:<big>\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x</math>
+:<big>\(Y = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x\)</big>
-Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme <big>\(y</math>.
+Obě strany rovnice umocníme na druhou, přičemž proměnnou ve druhém integrálu označíme <big>\(y\)</big>.
-:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y</math>
+:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{d}x \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}y\)</big>
 Součin integrálů odpovídá dvojnému integrálu funkce dvou proměnných, která je součinem původních funkcí.
-:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>
+:<big>\(Y^2 = \int_{-\infty}^\infty  \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{e}^{-y^2} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y\)</big>
-[[Graf funkce|Graf]] této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu [[Říp]]) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi <big>\((x,y)</math>. Integrál představuje [[objem]] kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu [[polární soustava souřadnic]] <big>\((\varphi,r)</math>, do kterých funkci přepíšeme.
+[[Graf funkce|Graf]] této funkce si můžeme představit jako kopec (tvarem připomíná horu [[Říp]]) nad rovinou s kartézskými souřadnicemi <big>\((x,y)\)</big>. Integrál představuje [[objem]] kopce. Jelikož je kopec souměrný podle svislé osy, hodí se k jeho popisu [[polární soustava souřadnic]] <big>\((\varphi,r)\)</big>, do kterých funkci přepíšeme.
-:<big>\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r</math>
+:<big>\(Y^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}\varphi\mathrm{d}r = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi \int_0^\infty r \mathrm{e}^{-r^2} \mathrm{d}r\)</big>
-Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou [[per partes]] a jeho hodnota je <big>\(\pi</math>. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.
+Tento integrál už lze jednoduše vyčíslit nalezením primitivní funkce metodou [[per partes]] a jeho hodnota je <big>\(\pi\)</big>. Odmocněním rovnice dostaneme výsledek.
-:<big>\(Y = \sqrt{\pi}</math>
+:<big>\(Y = \sqrt{\pi}\)</big>
 == Reference ==