Kuželosečka

Z Multimediaexpo.cz

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Obsah [skrýt] 1 Typy kuželoseček 2 Degenerované kuželosečky 3 Algebraické vyjádření 3.1 Invarianty 3.2 Klasifikace kuželoseček podle invariantů 4 Související články 4.1 Externí odkazy

Typy kuželoseček

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice. Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu.
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky. Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$,

kde koeficienty $a_{ij}$ jsou reálná čísla, přičemž $a_{ij}=a_{ji}$. Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v $x$ a $y$.

Invarianty

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty. Uvedená rovnice má tři invarianty:

• determinant kuželosečky

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$

• determinant kvadratických členů

$\delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$

• třetím invarientem je

$S=a_{11}+a_{22}$

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty $a_{ij}$, avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny. Je-li $\mathrm{\Delta }\ne 0$, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro $\mathrm{\Delta }=0$ jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s $\delta =0$ jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro $\delta \ne 0$ se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček	$\delta \ne 0$ středové kuželosečky		$\delta =0$ nestředové kuželosečky
	$\delta >0$	$\delta <0$
$\mathrm{\Delta }\ne 0$ vlastní kuželosečky	$\mathrm{\Delta }S<0$ reálná elipsa	hyperbola	parabola
	$\mathrm{\Delta }S>0$ imaginární elipsa
$\mathrm{\Delta }=0$ nevlastní kuželosečky	dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem v nekonečnu	dvě reálné různoběžky	$a_{13}^2-a_{11}{a}_{33}<0$ dvě různé reálné rovnoběžky	$a_{13}^2-a_{11}{a}_{33}=0$ dvě splývající rovnoběžky	$a_{13}^2-a_{11}{a}_{33}>0$ dvě imaginární rovnoběžky

Související články

• Geometrický útvar

Externí odkazy

• Kuželosečky (pdf)

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii