Ve středu 26. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 1 000 000 fotografií na plných 100 procent !
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Kuželosečka

Z Multimediaexpo.cz

Druhy kuželoseček

Kuželosečka je rovinná křivka, která vznikne jako průnik roviny s pláštěm rotačního kuželu (tzv. kuželová plocha), přičemž rovina neprochází jeho vrcholem.

Obsah

[skrýt]

Typy kuželoseček

Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rotačního kuželu, výslednou kuželosečkou je kružnice. Protínáme-li kužel rovinou rovnoběžnou právě s jednou z povrchových přímek pláště kuželu, výslednou kuželosečkou je parabola. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než 90° a větší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je elipsa. Rovina přitom protíná všechny povrchové přímky pláště kužele a není tedy s žádnou z nich rovnoběžná. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rotačního kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželosečkou je hyperbola; přitom rovina je rovnoběžná právě se dvěma povrchovými přímkami kuželu. Conic sections 2n.png
(A: parabola, B: elipsa a kružnice, C: hyperbola)

Degenerované kuželosečky

Za kuželosečku bývá často považován také průnik kuželové plochy s rovinou procházející vrcholem kuželové plochy. Takovéto kuželosečky označujeme jako degenerované (nevlastní, singulární), neboť podle polohy roviny a osy kuželové plochy dochází k redukci kuželosečky na bod, přímku nebo dvě přímky. Kuželosečky, které nejsou degenerované, tzn. kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu, označujeme jako vlastní (regulární) kuželosečky.

Algebraické vyjádření

Každou kuželosečku lze vyjádřit rovnicí

a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0,

kde koeficienty aij jsou reálná čísla, přičemž aij=aji. Tato rovnice je algebraickou rovnicí druhého stupně v x a y.

Invarianty

Při transformaci souřadnic se nemění některé charakteristické veličiny algebraické rovnice kuželosečky. Tyto veličiny se označují jako invarianty. Uvedená rovnice má tři invarianty:

  • determinant kuželosečky
Δ=|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|
  • determinant kvadratických členů
δ=|a11a12a21a22|
  • třetím invarientem je
S=a11+a22

Při transformaci souřadnic se tedy mění koeficienty aij, avšak uvedené invarianty se nezmění.

Klasifikace kuželoseček podle invariantů

Invarianty rovnice kuželosečky lze použít ke klasifikaci jednotlivých křivek, které jsou touto rovnicí určeny. Je-li Δ0, pak se jedná o vlastní kuželosečku. Pro Δ=0 jde o kuželosečku degenerovanou. Rovnicemi s δ=0 jsou určeny tzv. nestředové kuželosečky (např. parabola). Pro δ0 se jedná o kuželosečky středové (např. elipsa).

Rozdělení kuželoseček δ0
středové kuželosečky
δ=0
nestředové kuželosečky
δ>0 δ<0
Δ0
vlastní kuželosečky
ΔS<0
reálná elipsa
hyperbola parabola
ΔS>0
imaginární elipsa
Δ=0
nevlastní kuželosečky
dvojice nerovnoběžných (protínajících se) imaginárních přímek s reálným průsečíkem v nekonečnu dvě reálné různoběžky a132a11a33<0
dvě různé reálné rovnoběžky
a132a11a33=0
dvě splývající rovnoběžky
a132a11a33>0
dvě imaginární rovnoběžky

Související články

Externí odkazy