Banachova věta o pevném bodě

Z Multimediaexpo.cz

Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.

Znění věty

Nechť $(P,d)$ je neprázdný úplný metrický prostor a $A:P\to P$ je kontrakce na $P$. Pak existuje právě jeden prvek $x\in P$ takový, že $Ax=x$.

Důkaz

$A$ je kontrakce, existuje tedy $\alpha \in [0,1)$ takové, že pro všechny $x,y\in P$ platí

$d(Ax,Ay)\le \alpha d(x,y)$.

Zvolme libovolně $x_0\in P$. Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro $n\in \mathbb{N}$ jako $x_n=A{x}_{n-1}$. Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }m,n\ge n_0:d(x_m,x_n)<\epsilon$

Pro dané $\epsilon$, $m$ a $n$ (bez újmy na obecnosti volíme $n\le m$) hledáme $n_0(\epsilon )$. Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne

$d(x_n,x_m)\le d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\cdots +d(x_{m-1},x_m)\le$

dále z vlastnosti kontrakce a sečtením $m-n$ členů geometrické posloupnosti

$\le d(x_n,x_{n+1})+\alpha d(x_n,x_{n+1})+\cdots +{\alpha }^{m-n-1}d(x_n,x_{n+1})=(1+\alpha +\cdots +{\alpha }^{m-n-1})d(x_n,x_{n+1})=$

$=\frac{1-{\alpha }^{m-n}}{1-\alpha }{\alpha }^{n}d(x_0,x_1)\le \frac{{\alpha }^n}{1-\alpha }d(x_0,x_1)$

Limita posledního výrazu pro $n\to \mathrm{\infty }$ je nula, pro každé $\epsilon$ tedy existuje $n_0$, že

$d(x_n,x_m)\le \frac{{\alpha }^n}{1-\alpha }d(x_0,x_1)<\epsilon$

a posloupnost $x_n$ je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor $(P,d)$ úplný, Cauchyovská posloupnost $x_n$ konverguje k nějakému $x\in P$.

$x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}A{x}_{n-1}=$

z věty o limitě složené funkce (vnější funkce $A$ je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)

$=A\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n-1}=Ax$

$x$ je tedy pevným bodem zobrazení $A$.

Zbývá ukázat, že $x$ je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem - předpokládejme, že existují pevné body $x,y\in P$ a $x\ne y$.

$d(x,y)=d(Ax,Ay)\le \alpha d(x,y)$

protože $d(x,y)$ je kladné můžeme obě strany krátit a zbude

$1\le \alpha$,

což je spor, protože $\alpha \in [0,1)$.

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii