Polynom

Z Multimediaexpo.cz

Verze z 3. 4. 2025, 12:41; Sysop (diskuse | příspěvky)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)

Polynom (též mnohočlen) je výraz ve tvaru

p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}

,

kde $a_{n} \neq 0$ . Čísla $a_{0}, a_{1}, . . ., a_{n}$ se nazývají koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupněm polynomu p(x) rozumíme nejvyšší exponent proměnné x s nenulovým koeficientem, značíme jej st. p(x) nebo deg p(x). Stupeň kvadratického polynomu (např. p(x) = x² – 3x) je tedy 2, stupeň konstantního polynomu (např. p(x) = 7) je 0. Pro nulový polynom (p(x) = 0) se jeho stupeň definuje deg p(x) = $- \infty$ .

Příklady polynomů

$p (x) = 8 x + 3$ je polynom 1. stupně (lineární polynom)
$p (x) = 3 x^{2} + 2 x - 2$ je polynom 2. stupně (kvadratický polynom)
$p (x) = 3 x^{3} - 8 x$ je polynom 3. stupně (kubický polynom)

Operace s polynomy

Mějme polynom $n$ -tého stupně $f (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, a_{n} \neq 0$ , a polynom $m$ -tého stupně $g (x) = \sum_{i = 0}^{m} b_{i} x^{i}, b_{m} \neq 0$ .

Oba polynomy se vzájemně rovnají, tzn. $f (x) = g (x)$ pro všechna $x$ pouze tehdy, je-li $n = m$ a pro každé $i = 1, 2, . . ., n$ platí $a_{i} = b_{i}$ .

Sečtením polynomů $f (x)$ a $g (x)$ získáme polynom

h (x) = f (x) + g (x) = \sum_{i = 0}^{r} (a_{i} + b_{i}) x^{i}

,

kde $r = m a x (n, m)$ . Stupeň výsledného polynomu je $\leq r$ . (Odpovídající koeficienty polynomů $f (x)$ a $g (x)$ mohou v součtu dávat 0.)

Součin polynomů $f (x), g (x)$ je polynom $f (x) \cdot g (x)$ , který získáme vzájemným vynásobením jednotlivých členů obou polynomů, přičemž stupeň nového polynomu je $s = n + m$ .

Platí tedy, že $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} \cdot \sum_{i = 0}^{m} b_{i} x^{i} = \sum_{i = 0}^{n + m} (\sum_{j = 0}^{i} a_{j} \cdot b_{i - j}) x^{i}$ .

Je-li kde $n \geq m$ , pak existují právě dva polynomy $r (x), s (x)$ takové, že platí

f (x) = g (x) r (x) + s (x)

kde $s (x)$ má stupeň menší než $m$ nebo je nulovým polynomem. Pokud $s (x)$ je nulový polynom, pak říkáme, že polynom $f (x)$ je dělitelný polynomem $g (x)$ .

Polynomy tvoří vektorový prostor.

Obsah

[skrýt]

1 Stupeň polynomu
2 Příklady polynomů
3 Operace s polynomy
- 3.1 Hornerovo schéma
- 3.2 Příklady
4 Kořen polynomu
5 Derivace polynomu
- 5.1 Souvislost derivace a násobnosti kořene
6 Polynom dvou proměnných
7 Související články
8 Externí odkazy

Hornerovo schéma

Polynom $p (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ lze zapsat ve tvaru

p (x) = (. . . ((a_{n} x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + . . . + a_{1}) x + a_{0}

Tento zápis lze využít k výpočtu hodnoty polynomu $p (x)$ v bodě $x$ postupem, který bývá označován jako Hornerovo schéma. Zapíšeme-li

c_{n} = a_{n}

,

c_{n - 1} = c_{n} x + a_{n - 1}

,

c_{n - 2} = c_{n - 1} x + a_{n - 2}

,

…

c_{0} = c_{1} x + a_{0}

,

pak poslední číslo $c_{0}$ představuje právě hodnotu polynomu $p (x)$ v bodě $x$ .

Příklady

Mějme polynomy $f (x) = x^{4} - x$ , $g (x) = x^{3} - 2 x + 1$

f (x) + g (x) = x^{4} - x + x^{3} - 2 x + 1 = x^{4} + x^{3} - 3 x + 1

f (x) \cdot g (x) = (x^{4} - x) (x^{3} - 2 x + 1) = x^{7} - 2 x^{5} + x^{4} - x^{4} + 2 x^{2} - x = x^{7} - 2 x^{5} + 2 x^{2} - x

Pokusme se zjistit, zda je polynom $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1$ dělitelný polynomem $g (x) = x^{2} + 1$ .

Vydělíme člen s nejvyšší mocninou polynomu $f (x)$ členem s nejvyšší mocninou polynomu $g (x)$ , tzn. $\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$ . První člen polynomu $r (x)$ tedy bude $x^{2}$ . Tímto členem vynásobíme polynom $g (x)$ (dostaneme tedy $x^{4} + x^{2}$ ) a výsledek odečteme od polynomu $f (x)$ , čímž získáme nový polynom $f_{1} (x) = f (x) - (x^{4} + x^{2}) = - 4 x^{2} + 2 x + 1$ .

Nejvyšší člen polynomu $f_{1} (x)$ opět dělíme nejvyšším členem polynomu $g (x)$ , tzn. $\frac{- 4 x^{2}}{x^{2}} = - 4$ , tzn. další člen polynomu $r (x)$ je $- 4$ . Tímto členem opět násobíme polynom $g (x)$ , tzn. získáme $- 4 x^{2} - 4$ , a výsledek odečteme od polynomu $f_{1} (x)$ . Získáme nový polynom $f_{2} (x) = 2 x + 5$ .

Stupeň polynomu $f_{2} (x)$ je však nižší než stupeň polynomu $g (x)$ , proto již nelze pokračovat v dělení. Polynom $f_{2} (x)$ tedy odpovídá polynomu $s (x)$ .

Výsledek tedy je

f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x + 1 = g (x) r (x) + s (x) = (x^{2} + 1) (x^{2} - 4) + (2 x + 5)

,

tzn. $r (x) = x^{2} - 4$ a $s (x) = 2 x + 5$ .

Vzhledem k tomu, že $s (x) \neq 0$ , není polynom $f (x)$ dělitelný polynomem $g (x)$ .

Kořen polynomu

Číslo $α$ se nazývá kořen polynomu $p (x)$ , jestliže platí

p (α) = 0

Této skutečnosti, společně se základní větou algebry, se využívá při řešení algebraických rovnic.

Vlastnosti

Je-li $α$ kořenem polynomu $p (x)$ stupně $n \geq 1$ , pak

p (x) = (x - α) g (x)

,

kde $g (x)$ je polynom stupně $n - 1$ .

Z předchozího plyne, že pokud je známo pouze $k$ kořenů polynomu $n$ -tého stupně, můžeme opakovaným použitím předchozího rozkladu rozložit libovolný polynom $p (x)$ na součin kořenových činitelů, které obsahují známé kořeny polynomu, a polynomu $g (x)$ stupně $n - k$ , tzn.

p (x) = (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{k}) g (x)

,

kde $α_{i}$ představují známé kořeny polynomu $p (x)$ . Pro nalezení zbývajících kořenů polynomu $p (x)$ stačí hledat pouze kořeny polynomu $g (x)$ , tzn. řešit rovnici $g (x) = 0$ , neboť tyto kořeny jsou také zbývajícími kořeny polynomu $p (x)$ . Polynom $g (x)$ získáme z polynomu $p (x)$ jeho vydělením výrazem $(x - α_{1}) \dots (x - α_{k})$ .

Rozklad na kořenové činitele

Důsledkem předchozí vlastnosti je skutečnost, že každý polynom $p (x)$ stupně $n \geq 1$ lze zapsat ve tvaru

p (x) = a_{n} (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{n})

,

kde $α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n}$ jsou kořeny polynomu $p (x)$ . Členy $(x - α_{i})$ označujeme jako kořenové činitele. Ke každému polynomu existuje pouze jediný součin kořenových činitelů (pořadí jednotlivých kořenových činitelů v součinu není důležité).

Násobnost kořene

Jestliže se v rozkladu na kořenové činitele vyskytují někteří kořenoví činitelé vícekrát, můžeme psát

f (x) = a_{n} (x - α_{1})^{k_{1}} \cdot (x - α_{2})^{k_{2}} \cdot . . . \cdot (x - α_{n})^{k_{n}}

,

kde $k_{1} + k_{2} + . . . + k_{n} = n$ , přičemž $k_{i}$ jsou přirozená čísla. Čísla $k_{i}$ určují násobnost kořene $α_{i}$ , tzn. kolikrát se kořen $α_{i}$ vyskytuje v řešení polynomu.

Pokud má polynom stupně $n \geq 1$ s reálnými koeficienty $k$ -násobný kořen $α = a + i b$ , má také $k$ -násobný kořen $\overset{―}{α} = a - i b$ . To má za následek, že každý takový polynom je dělitelný polynomem $(x - α) (x - \overset{―}{α}) = x^{2} - 2 x a + (a^{2} + b^{2})$ .

Podle předchozího tvrzení lze každý polynom $p (x)$ stupně $n \geq 1$ s reálnými koeficienty vyjádřit jako součin reálného čísla $a_{n}$ , reálných kořenových činitelů $x - α_{i}$ a reálných trojčlenů $x^{2} + p_{i} x + q_{i}$ , splňujících podmínku $p_{i}^{2} - 4 q_{i} < 0$ , tzn.

p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x - α_{1}) (x - α_{2}) \dots (x - α_{k}) (x^{2} + p_{1} x + q_{1}) (x^{2} + p_{2} x + q_{2}) \dots (x^{2} + p_{m} x + q_{m})

,

kde $α_{1}, . . ., α_{k}, p_{1}, . . ., p_{m}, q_{1}, . . ., q_{m}$ jsou reálná čísla, přičemž je splněna podmínka $k + 2 m = n$ .

Také v předchozím rozkladu se někteří kořenoví činitelé mohou vyskytovat vícenásobně, tzn.

p (x) = a_{n} (x - α_{1})^{u_{1}} \dots (x - α_{s})^{u_{s}} (x^{2} + p_{1} x + q_{1})^{v_{1}} \dots (x^{2} + p_{r} x + q_{r})^{v_{r}}

,

kde $u_{1} + u_{2} + . . . + u_{s} = k$ určuje počet reálných kořenů polynomu a $v_{1} + v_{2} + . . . + v_{r} = m$ je polovina z celkového počtu všech komplexních kořenů polynomu.

Z předchozího zápisu plyne, že každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Pokud jsou $α_{1}, α_{2}, . . ., α_{n}$ kořeny polynomu $p (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ , potom pro tyto kořeny platí následující vztahy

α_{1} + α_{2} + . . . + α_{n} = - a_{n - 1}

α_{1} α_{2} + α_{1} α_{3} + . . . + α_{1} α_{n} + α_{2} α_{3} + . . . + α_{2} α_{n} + + α_{n - 1} α_{n} = a_{n - 2}

…

α_{1} α_{2} \dots α_{n} = (- 1)^{n} a_{0}

Derivace polynomu

Derivací polynomu $\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ rozumíme polynom tvaru $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot i x^{i - 1}$ . Derivaci značíme $f$ '

(Pozn. Derivací nulového polynomu je nulový polynom.)

n-tou derivací rozumíme výraz definovaný pomocí indukce

$f^{(1)} = f$ '

$f^{(n)} = (f^{(n - 1)})$ '

Souvislost derivace a násobnosti kořene

Číslo $α$ je k-násobný kořen polynomu právě tehdy, když je kořenem polynomu a jeho derivací až do řádu $k - 1$ (a není kořenem derivace řádu $k$ ).

Polynom dvou proměnných

Funkci $P$ dvou proměnných $x \in R, y \in R$ označíme jako polynom, pokud existují přirozená čísla $n, m$ a konstanty $a_{i j}$ takové, že platí

P (x, y) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{m} a_{i j} x^{i} y^{j}

.

Související články

Externí odkazy

Flickr.com nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Polynom

Commons nabízí fotografie, obrázky a videa k tématu
Polynom

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii