Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
Limita
Z Multimediaexpo.cz
- Tento článek pojednává o limitě funkce nebo zobrazení. O limitě a kolimitě v teorii kategorií je článek Limita (teorie kategorií)
Limita je matematická konstrukce, vyjadřující, že se hodnoty zadané posloupnosti nebo funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se u funkcí zapisuje \(\lim_{z\rightarrow z_0} f(z)=a</math> a u posloupností \(\lim_{n\to\infty} a_n=a</math> případně \(a _n \to a\,</math>. Dle toho, zda se uvažuje o posloupnosti nebo o funkci, hovoříme o limitě posloupnosti nebo limitě funkce. Pojem limity lze definovat na libovolném metrickém prostoru.
Obsah |
Limita posloupnosti
- Hlavní článek: Limita posloupnosti
Posloupnost \(\left( a_n \right) _{n=1} ^\infty</math> má limitu A, pokud se jejími hodnotami můžeme k A libovolně přiblížit. Tedy pro každé kladné číslo \(\varepsilon</math> platí, že existuje nějaký člen posloupnosti, od kterého jsou už její hodnoty od A vzdáleny méně, než \(\varepsilon</math>. Zapsáno symbolicky:
- \(\forall \varepsilon > 0: \exists n \in \mathbb{N} : \forall k \geq n : \left| a _k - A \right| < \varepsilon</math>
Limita funkce
- Hlavní článek: limita funkce
Říkáme, že funkce f(x) má v bodě a limitu A, jestliže k libovolnému \(\epsilon >0</math> existuje takové \(\delta > 0</math> , že pro všechna x z \(\delta</math>-okolí bodu a, z něhož vyjmeme bod a (tzv. prstencová okolí bodu a) je \(\left| f(x)-A \right|< \epsilon, </math>.
Limita vzhledem k podmnožině
(Speciální případ: Pravostranná a levostranná limita)
Vlastní a nevlastní limita
Limitou posloupnosti může být nejen číslo (tj. vlastní limita), ale i symbol \(+\infty \,\!</math> nebo \(-\infty \,\!</math> (nevlastní limita). Limitu funkce lze zkoumat ve vlastním bodě (v reálném čísle), tak i v nevlastním bodě \(+\infty \,\!</math> nebo \(-\infty \,\!</math>. V obou případech může být limita vlastní, nevlastní nebo limita nemusí existovat.
Zobecnění pro topologické prostory
Limita zobrazení \(f: A\to B</math> mezi topologickými prostory je v bodě a definována jako \(b\in B</math> takové, že pro každé okolí O(b) bodu b existuje okolí O(a) bodu a takové, že \(x\in O(a)</math> implikuje \(f(x)\in O(b)</math>. Dalším zobecněním limity posloupnosti, funkce i zobrazení jsou limity sítí[1]. Limita zobrazení nebo sítě může být v obecném topologickém prostoru víceznačná. Platí však, že v Hausdorffově prostoru, je tato limita jednoznačná, t.j. každá síť má nejvýše jednu limitu.
Příklady
.png) Graf funkce \(\scriptstyle f(x) = \frac{\sin(x)}{x}</math>. Je vidět, že tato funkce má limitu 1 v bodě nula. |
 Graf funkce \(\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x} </math>. Je vidět, že tato funkce nemá limitu v bodě nula a má vlastní limity 0 v \(\scriptstyle \pm \infty</math>. |
 Graf funkce \(\scriptstyle f(x) = \frac{1}{x^2}</math>. Je vidět, že tato funkce má nevlastní limitu \(\scriptstyle +\infty \,\!</math> v bodě nula a má vlastní limity 0 v \(\scriptstyle \pm \infty</math>. |
- Funkce \({\sin x}\over x \,\!</math> není v nule definovaná, ale má v ní limitu 1[pozn 1] (vlastní limita ve vlastním bodě) a v \(+\infty \,\!</math> má limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě).
- Funkce \({\sin x} \,\!</math> je v nule spojitá (limita je 0) a v \(+\infty \,\!</math> limitu nemá. Obě tato tvrzení platí i o funkci \({x \cdot \sin x} \,\!</math>
- Funkce \({\sin {1\over x}} \,\!</math> ani \({\sin {1\over x}}\over x \,\!</math> v nule limitu nemají. Totéž platí i o funkcích \({1\over x}\,\!</math> či \({1\over x^3}\,\!</math>, ovšem ty mají alespoň jednostranné limity: jejich pravostranná limita je \(+\infty \,\!</math> a levostranná \(-\infty \,\!</math>. Naproti tomu funkce \({1\over x^2}\,\!</math> a \({1\over x^4}\,\!</math> mají v nule limitu \(+\infty \,\!</math> (nevlastní limita ve vlastním bodě).
- Funkce \(e^x\,\!</math> má v \(-\infty \,\!</math> limitu 0 (vlastní limita v nevlastním bodě) a v \(+\infty \,\!</math> limitu \(+\infty \,\!</math>.
Poznámky
- ↑ To lze intuitivně zdůvodnit tak, že funkce sin x má v okolí nuly "velmi podobný" průběh, jako funkce f(x) = x; proto se jejich poměr blíží k jedné.
Související články
- Derivace
- l'Hospitalovo pravidlo
- vlastní limita
- nevlastní limita
- Spojitá funkce
- Konvergence
- Divergence
Reference
- ↑ Michael C. Gemignani, Elementary topology, Courier Dover Publications, 1990 (strana 122, def. 3)
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |