Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Hölderova nerovnost
Z Multimediaexpo.cz
Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání Lp prostorů.
Obsah |
Znění
Na prostoru s mírou \((X, \Sigma, \mu)</math> mějme μ-měřitelné funkce \(f, g</math> na \(X</math>. Dále nechť existují čísla \(1 \le p, q \le \infty</math>, taková, že: \(1/p + 1/q = 1</math>. Pak platí:
- \(\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q</math>.
Důležité speciální případy
Pro následující případy předpokládejme, že \(1 < p,q < \infty</math> a \(1/p+1/q = 1</math>.
Aritmetická míra
V případě \(n</math>-rozměrného Eukleidovského prostoru \(a_k, b_k \in \mathbb{C}^n</math>, s množinou \( X = \{1, ..., n\}</math> a \(\mu</math> aritmetickou mírou dostáváme:
- \(\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}</math>.
Rovnost nastává, právě když \(|b_k|=c|a_k|^{p-1}</math>.
Lp prostory
Pokud \(f \in L^p(X), g \in L^q(X)</math>, tak \(f \cdot g \in L^1(X)</math> a navíc:
- \(\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}</math>
Pro \(p = q = 2</math> pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
Důkaz
Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto:
Pro všechna reálná čísla r, s a \(x\in<0,1></math> platí
\(xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}</math>.
Rovnost nastává, právě když r=s nebo \(x\in\{0,1\}</math>. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
---|
Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |