Substituce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Substituce je nahrazení složitějších výrazů jednoduššími výrazy. Používá se u složitých výrazů a výpočet je pak jednodušší (snadnější). ^[1]

Obsah 1 Ukázky řešení příkladu 1.1 Exponenciální rovnice 1.2 Goniometrická rovnice 2 Související články 3 Reference

Ukázky řešení příkladu

Exponenciální rovnice

Řešení exponenciální rovnice pomocí substituce:

1. <math>2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0</math>
2. Zavedeme substituci <math>a = 2^{x}</math>:
   <math>a^{2} + a - 6 = 0</math>
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   <math>a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}</math>
   
   <math>a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2</math>
   
   <math>a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. <math>2 = 2^x</math>
   2. <math>-3 = 2^x</math>
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. <math>2 = 2^x</math>
      1. Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <math>2</math> se dá napsat jako <math>2^1</math>:
         <math>2^1 = 2^x</math>
      2. <math>1 = x</math>
      3. Výsledek je:
         <math>x = 1</math>
         Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
   2. <math>-3 = 2^x</math>
      Rovnici bychom řešili pomocí logaritmu, ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.

Goniometrická rovnice

Řešení goniometrické rovnice pomocí substituce:

1. <math>(\sin x)^2 + 2\sin x - 3 = 0</math>
2. Zavedeme substituci <math>a = \sin x</math>:
   <math>a^{2} + 2a - 3 = 0</math>
3. Vypočítáme kvadratickou rovnici:
   <math>a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}</math>
   
   <math>a_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1</math>
   
   <math>a_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3</math>
4. Nyní si můžeme napsat 2 rovnice:
   1. <math>\sin x = 1</math>
   2. <math>\sin x = -3</math>
5. Vyřešíme obě rovnice:
   1. <math>\sin x = 1</math>
      <math>x = \frac{1}{2}\pi + 2k\pi</math>
   2. <math>\sin x = -3</math>
      <math>x = \phi</math>
      Tím je vyřešená goniometrická rovnice pomocí substituce.

Související články

• Substituční metoda (integrování)

Reference

1. ↑ Substituce - definice

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii