Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!
V tiskové zprávě k 18. narozeninám brzy najdete nové a zásadní informace.
Harmonická posloupnost
Z Multimediaexpo.cz
m (Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“) |
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“) |
||
| Řádka 3: | Řádka 3: | ||
Tedy posloupnost daná předpisem | Tedy posloupnost daná předpisem | ||
| - | <big>\(a_n = \frac 1 {cn+d}</ | + | <big>\(a_n = \frac 1 {cn+d}\)</big>, kde <big>\(n \isin \mathbb{N},\; c, d \isin \mathbb{R},\; c \ne 0, d\ne 0\)</big> |
je harmonická. | je harmonická. | ||
| - | Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat [[projektivní přímka|projektivní rozšíření reálné přímky]] o nevlastní bod <big>\(\infty</ | + | Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat [[projektivní přímka|projektivní rozšíření reálné přímky]] o nevlastní bod <big>\(\infty\)</big>. |
==Příklad== | ==Příklad== | ||
| - | Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel <big>\(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots</ | + | Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel <big>\(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots\)</big> nebo posloupnost <big>\((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty\)</big> je harmonická. |
Název souvisí s hudební [[harmonie|harmonií]], v [[přirozené ladění|přirozeném ladění]] jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly. | Název souvisí s hudební [[harmonie|harmonií]], v [[přirozené ladění|přirozeném ladění]] jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly. | ||
| Řádka 17: | Řádka 17: | ||
Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je [[harmonický průměr|harmonickým průměrem]] sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován). | Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je [[harmonický průměr|harmonickým průměrem]] sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován). | ||
| - | Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je <big>\(+\infty</ | + | Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je <big>\(+\infty\)</big> nebo <big>\( -\infty\)</big>, což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s [[harmonická řada|harmonickou řadou]]. |
==Související články== | ==Související články== | ||
Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Posloupnost se nazývá harmonická, jestliže převrácené hodnoty jejích členů tvoří nenulovou aritmetickou posloupnost.
Tedy posloupnost daná předpisem
\(a_n = \frac 1 {cn+d}\), kde \(n \isin \mathbb{N},\; c, d \isin \mathbb{R},\; c \ne 0, d\ne 0\)
je harmonická.
Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat projektivní rozšíření reálné přímky o nevlastní bod \(\infty\).
Příklad
Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel \(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots\) nebo posloupnost \((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty\) je harmonická.
Název souvisí s hudební harmonií, v přirozeném ladění jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly.
Vlastnosti
Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován).
Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je \(+\infty\) nebo \( -\infty\), což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s harmonickou řadou.
Související články
| Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010 |
|---|
| Informace o článku.
Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. |