Ve čtvrtek 13. března 2025 se podařilo týmu Multimediaexpo.cz
dokončit zcela nový balíček 900 000 fotografií na plných 100 procent !!
Nedostižná hranice 4 000 000 fotografií se února 2026 už nedožije...
FFresh emotion happy.png

Harmonická posloupnost

Z Multimediaexpo.cz

Posloupnost se nazývá harmonická, jestliže převrácené hodnoty jejích členů tvoří nenulovou aritmetickou posloupnost.

Tedy posloupnost daná předpisem

\(a_n = \frac 1 {cn+d}\), kde \(n \in \mathbb{N},\; c, d \in \mathbb{R},\; c \ne 0, d\ne 0\)

je harmonická.

Mohlo by se stát, že jeden člen posloupnosti nebude definován, proto je vhodné používat projektivní rozšíření reálné přímky o nevlastní bod \(\infty\).

Příklad

Posloupnost převrácených hodnot přirozených čísel \(1, \frac 1 2, \frac 1 3,\cdots\) nebo posloupnost \((\frac {2} {n+1})_{n=1}^\infty\) je harmonická.

Název souvisí s hudební harmonií, v přirozeném ladění jsou poměry kmitočtů tónů stupnice dány malými celými čísly.

Vlastnosti

Každý člen harmonické posloupnosti kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů (pokud používáme nevlastní bod, jinak to neplatí pro oba sousedy členu, který není definován).

Posloupnost částečných součtů je vždy divergentní, součet je \(+\infty\) nebo \( -\infty\), což plyne ze srovnávacího kritéria porovnáním s harmonickou řadou.

Související články