Centrální moment

'''Centrální moment''' je pojem z [[matematická statistika|matematické statistiky]]. Pro [[přirozené číslo]] <math>k</math> je k-tý centrální moment jisté [[reálné číslo]]  charakterizující [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]].  

''K''-tý centrální moment se označuje  <math>\mu_k</math>.

''K''-tý centrální moment náhodné veličiny <math>X</math> je definován vzorcem

:<math>\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]</math>,

kde <math>\mu</math> je [[střední hodnota]] dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

:<math>\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i</math>,

kde <math>p_i</math> je [[pravděpodobnost]], že <math>X</math> nabývá hodnoty <math>x_i</math>.

:<math>\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x</math>,

kde <math>f(x)</math> je [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustota rozdělení]] dané veličiny.

Druhý centrální moment se nazývá [[rozptyl (statistika)|rozptyl]] a označuje se symbolem <math>\sigma^2</math> nebo <math>\operatorname{var}\,X</math>.

:<math>\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)</math>

:<math>\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)</math>

Pro <math>k\leq 3</math> a nezávislé náhodné veličiny <math>X, Y</math> platí

:<math>\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)</math>

:<math>\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime</math>,

kde <math>\mu</math> je střední hodnota a <math>\mu_i^\prime</math> je ''i''-tý obecný moment.

<math> m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k </math>

* <math>M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2</math>

* <math>M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3</math>

* <math>M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2</math>