Střední hodnota

Z Multimediaexpo.cz

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny $X$ se značí $E X$ , $E (X)$ nebo také $⟨ X ⟩$ .

Obsah

1 Definice
2 Vlastnosti
3 Příklady
- 3.1 Diskrétní náhodná veličina
- 3.2 Spojitá náhodná veličina
4 Související články

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

E X = \int_{R} x d P (x)

,

kde $P$ je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny $X$ . Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

Má-li náhodná veličina $X$ spojité rozdělení s hustotou rozdělení $f (x)$ , pak

E X = \int_{R} x f (x) d x

.

Má-li náhodná veličina $X$ diskrétní rozdělení kde $P [X = s_{i}] = p_{i}$ pro $i \in I$ nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

E X = \sum_{I} s_{i} p_{i}

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty $c$ je

E (c) = c

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny $X$ a konstanty $c$ platí

E (c X) = c E (X)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin $X, Y$ je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny $X, Y$ je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

E (X Y) = E (X) E (Y)

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články

[zobrazit] Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii