V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Efektivní hodnota

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Aktualizace)
 
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Efektivní hodnota|700}}
+
'''Efektivní hodnota''' je [[statistika|statistická]] hodnota měřící velikost měnící se veličiny. Užitečná je zejména u [[periodická funkce|periodických]] [[fyzikální veličina|veličin]], v elektrotechnice, v [[elektronika|elektronice]] a teorii [[elektrický obvod|obvodů]] u hlavních obvodových veličin – [[elektrické napětí|napětí]] a [[elektrický proud|proudu]].
 +
V silnoproudé elektrotechnice se napětí i intenzita střídavého proudu zpravidla udává v efektivních, nikoli v maximálních hodnotách.
 +
 +
== Efektivní hodnota běžných periodických průběhů ==
 +
{| class="wikitable" border="1"
 +
|-
 +
! Průběh!!Vzorec!!Efektivní hodnota
 +
|-
 +
| [[sinusoida]]||<big>\(y=a\sin(2\pi ft)\,\)</big>||<big>\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)</big>
 +
|-
 +
| obdélníkový průběh||<big>\(y=\begin{cases}a & ((ft) \% 1) < 0.5 \\ -a & ((ft) \% 1) > 0.5 \end{cases}\)</big>||<big>\(a\,\)</big>
 +
|-
 +
| modifikovaný obdélníkový průběh||<big>\(y=\begin{cases}0 & ((ft) \% 1) < 0.25 \\ a & 0.25 < ((ft) \% 1) < 0.5 \\ 0 & 0.5 < ((ft) \% 1) < 0.75 \\ -a & ((ft) \% 1) > 0.75 \end{cases}\)</big>||<big>\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)</big>
 +
|-
 +
| pilový průběh || <big>\(y=2a(0.5 - (ft) \% 1),\)</big> || <big>\(a \over \sqrt 3\)</big>
 +
|-
 +
| colspan=3 | Kde:<br />''t'' je čas,<br />''f'' je frekvence,<br />''a'' je amplituda (maximální hodnota), a<br />c % d značí [[zbytek po dělení]] (modulo)
 +
|}
 +
== V elektrotechnice a v elektronice ==
 +
[[Soubor: Sine voltage.png|thumb|240px|Sinusový průběh napětí či intenzity: 1 – maximální&nbsp;hodnota; 2 – „špička-špička“; 3 – efektivní&nbsp;hodnota; 4 – perioda]]
 +
'''Efektivní hodnota střídavého proudu (''I<sub>ef</sub>'')''' je rovna hodnotě [[stejnosměrný proud|stejnosměrného proudu]], který by při průchodu [[rezistor|odporovou zátěží]] dával stejný průměrný [[výkon]].
 +
 +
'''Efektivní hodnota střídavého napětí (''U<sub>ef</sub>'')''' je rovna hodnotě [[stejnosměrné napětí|stejnosměrného napětí]], které by při přiložení na odporovou zátěž dávalo stejný průměrný výkon.
 +
 +
V praxi se většinou používá zkrácený termín '''efektivní proud''', nebo '''efektivní napětí'''. Pokud se v silnoproudé elektrotechnice mluví o jinak nespecifikovaných hodnotách střídavých napětí nebo proudů,<br />téměř vždy se automaticky předpokládá, že jde o efektivní hodnoty.
 +
 +
=== Odvození ===
 +
Střední výkon na odporu za periodu T můžeme vyjádřit jako:
 +
 +
: <big>\(P_{st\check{r}} = \frac {\int_{0}^{T} R \cdot i^2 (t) \, \mathrm{d}t} {T} = R \cdot I_{ef}^2\)</big>
 +
 +
Odtud snadno odvodíme, že efektivní proud je střední kvadratickou hodnotou proudu za [[Perioda (fyzika)|periodu]]:
 +
 +
: <big>\(I_{ef} =  \sqrt {\frac {\int_{0}^{T} i^2 (t) \, \mathrm{d}t} {T}}\)</big>
 +
 +
Podobně bychom mohli odvodit, že efektivní napětí je střední kvadratickou hodnotou napětí za periodu:
 +
 +
: <big>\(U_{ef} =  \sqrt {\frac {\int_{0}^{T} u^2 (t) \, \mathrm{d}t} {T}}\)</big>
 +
 +
=== Efektivní hodnoty napětí a proudu v praxi ===
 +
 +
Efektivní hodnota bývá často značena indexem '''RMS''' z anglického ''„Root Mean Square“'' (česky doslovně „odmocnina průměru čtverců“, jinak také [[kvadratický průměr]]).
 +
 +
O efektivních hodnotách většinou hovoříme v souvislosti se sinusovými střídavými napětími nebo proudy, vyskytujícími se často v elektrické napájecí síti. Za předpokladu, že proud resp. napětí má sinusový průběh platí:
 +
 +
Efektivní hodnota střídavého proudu:
 +
: <big>\(I_{ef} = I_{max} \sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^2(t)\, \mathrm{d}t} = \frac {I_{max}} {\sqrt{2}}\)</big>
 +
 +
Efektivní hodnota střídavého napětí:
 +
: <big>\(U_{ef} = U_{max} \sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^2(t)\, \mathrm{d}t} = \frac {U_{max}} {\sqrt{2}}\)</big>
 +
 +
Některé [[voltmetr]]y nebo [[ampérmetr]]y využívají toho, že je jednodušší měřit střední absolutní hodnotu střídavých veličin, která je rovna:
 +
: <big>\(U_{st\grave{r}abs} = U_{max} \cdot {\frac {2} {\pi}}\)</big>
 +
 +
Pro určení efektivní hodnoty sinusového průběhu pak násobí tuto hodnotu tzv. koeficientem tvaru <big>\(k_t = {\frac \pi {2 \sqrt{2}}} \)</big>, který je číselně roven zhruba 1,11:
 +
 +
: <big>\(U_{ef} = U_{st\grave{r}abs} \cdot {\frac \pi {2 \sqrt{2}}}\)</big>
 +
 +
Pokud není průběh střídavého napětí nebo proudu přesně sinusový, pak můžeme i při přesném měření změřit různými přístroji mírně odlišnou "velikost" napětí nebo proudu, podle toho jestli daný přístroj měří metodou střední kvadratické hodnoty tj. "true RMS", nebo střední absolutní hodnoty.
 +
 +
[[Elektrické napětí#Elektrická síť v České republice a ve světě|Elektrická síť v České republice]] má jmenovité efektivní fázové napětí jedné fáze 230 [[Volt|V]] (maximální okamžitá hodnota napětí je 325 V), jmenovité efektivní sdružené napětí je 400 V.
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Kvadratický průměr]]
 +
== Externí odkazy ==
 +
* [https://web.archive.org/web/20070707192845/http://lucy.troja.mff.cuni.cz/~tichy/elektross/soucastky/jeden_prechod/ef_hodnota.html Archive.org – Efektivní hodnota střídavého proudu]
 +
* [https://web.archive.org/web/20070702203307/http://fyzika.gbn.cz/phprs/view.php?cisloclanku=2005051601 Archive.org – Výkon střídavého proudu v obvodu s odporem]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Elektrotechnika]]
[[Kategorie:Elektrotechnika]]
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 11. 4. 2024, 15:50

Efektivní hodnota je statistická hodnota měřící velikost měnící se veličiny. Užitečná je zejména u periodických veličin, v elektrotechnice, v elektronice a teorii obvodů u hlavních obvodových veličin – napětí a proudu.

V silnoproudé elektrotechnice se napětí i intenzita střídavého proudu zpravidla udává v efektivních, nikoli v maximálních hodnotách.

Obsah

Efektivní hodnota běžných periodických průběhů

PrůběhVzorecEfektivní hodnota
sinusoida\(y=a\sin(2\pi ft)\,\)\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
obdélníkový průběh\(y=\begin{cases}a & ((ft) \% 1) < 0.5 \\ -a & ((ft) \% 1) > 0.5 \end{cases}\)\(a\,\)
modifikovaný obdélníkový průběh\(y=\begin{cases}0 & ((ft) \% 1) < 0.25 \\ a & 0.25 < ((ft) \% 1) < 0.5 \\ 0 & 0.5 < ((ft) \% 1) < 0.75 \\ -a & ((ft) \% 1) > 0.75 \end{cases}\)\(\frac{a}{\sqrt{2}}\)
pilový průběh \(y=2a(0.5 - (ft) \% 1),\) \(a \over \sqrt 3\)
Kde:
t je čas,
f je frekvence,
a je amplituda (maximální hodnota), a
c % d značí zbytek po dělení (modulo)

V elektrotechnice a v elektronice

Sinusový průběh napětí či intenzity: 1 – maximální hodnota; 2 – „špička-špička“; 3 – efektivní hodnota; 4 – perioda

Efektivní hodnota střídavého proudu (Ief) je rovna hodnotě stejnosměrného proudu, který by při průchodu odporovou zátěží dával stejný průměrný výkon.

Efektivní hodnota střídavého napětí (Uef) je rovna hodnotě stejnosměrného napětí, které by při přiložení na odporovou zátěž dávalo stejný průměrný výkon.

V praxi se většinou používá zkrácený termín efektivní proud, nebo efektivní napětí. Pokud se v silnoproudé elektrotechnice mluví o jinak nespecifikovaných hodnotách střídavých napětí nebo proudů,
téměř vždy se automaticky předpokládá, že jde o efektivní hodnoty.

Odvození

Střední výkon na odporu za periodu T můžeme vyjádřit jako:

\(P_{st\check{r}} = \frac {\int_{0}^{T} R \cdot i^2 (t) \, \mathrm{d}t} {T} = R \cdot I_{ef}^2\)

Odtud snadno odvodíme, že efektivní proud je střední kvadratickou hodnotou proudu za periodu:

\(I_{ef} = \sqrt {\frac {\int_{0}^{T} i^2 (t) \, \mathrm{d}t} {T}}\)

Podobně bychom mohli odvodit, že efektivní napětí je střední kvadratickou hodnotou napětí za periodu:

\(U_{ef} = \sqrt {\frac {\int_{0}^{T} u^2 (t) \, \mathrm{d}t} {T}}\)

Efektivní hodnoty napětí a proudu v praxi

Efektivní hodnota bývá často značena indexem RMS z anglického „Root Mean Square“ (česky doslovně „odmocnina průměru čtverců“, jinak také kvadratický průměr).

O efektivních hodnotách většinou hovoříme v souvislosti se sinusovými střídavými napětími nebo proudy, vyskytujícími se často v elektrické napájecí síti. Za předpokladu, že proud resp. napětí má sinusový průběh platí:

Efektivní hodnota střídavého proudu:

\(I_{ef} = I_{max} \sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^2(t)\, \mathrm{d}t} = \frac {I_{max}} {\sqrt{2}}\)

Efektivní hodnota střídavého napětí:

\(U_{ef} = U_{max} \sqrt{\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^2(t)\, \mathrm{d}t} = \frac {U_{max}} {\sqrt{2}}\)

Některé voltmetry nebo ampérmetry využívají toho, že je jednodušší měřit střední absolutní hodnotu střídavých veličin, která je rovna:

\(U_{st\grave{r}abs} = U_{max} \cdot {\frac {2} {\pi}}\)

Pro určení efektivní hodnoty sinusového průběhu pak násobí tuto hodnotu tzv. koeficientem tvaru \(k_t = {\frac \pi {2 \sqrt{2}}} \), který je číselně roven zhruba 1,11:

\(U_{ef} = U_{st\grave{r}abs} \cdot {\frac \pi {2 \sqrt{2}}}\)

Pokud není průběh střídavého napětí nebo proudu přesně sinusový, pak můžeme i při přesném měření změřit různými přístroji mírně odlišnou "velikost" napětí nebo proudu, podle toho jestli daný přístroj měří metodou střední kvadratické hodnoty tj. "true RMS", nebo střední absolutní hodnoty.

Elektrická síť v České republice má jmenovité efektivní fázové napětí jedné fáze 230 V (maximální okamžitá hodnota napětí je 325 V), jmenovité efektivní sdružené napětí je 400 V.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Efektivn%C3%AD_hodnota“