Duplikace krychle

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Duplikace krychle (také zdvojení krychle, reduplikace krychle či délský problém) je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou kvadratura kruhu a trisekce úhlu; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

Přesné zadání úlohy

Obecné zadání úlohy zdvojení krychle zní v jazyce moderní matematiky takto:

Nalezněte obecnou euklidovskou konstrukci, pomocí níž bude k libovolné krychli možné zkonstruovat hranu krychle o dvojnásobném objemu.

Poněkud méně formálně:

K dané krychli zkonstruujte krychli s dvojnásobným objemem pouze za užití pravítka a kružítka.

Historie

Legenda

Podle staré legendy stojí u vzniku problému zdvojení krychle společenství pythagorejců. Ti v rámci svého „kultu čísel“ vyznávali, že čtyři základní elementy: oheň, vzduch, voda a země jsou ve světě zastoupeny v poměru takzvané „úměry o čtyřech členech“. Proto pro ně měla tato úměra velmi velký význam. Čísla a,b,c,d jsou v úměře o čtyřech členech, je-li a nejmenší, d největší a poměry a:b,b:c a c:d jsou si rovny.

Pythagorejci považovali za důležité nalézt obecnou (euklidovskou) konstrukci, jak k daným úsečkám délek a,d nalézt úsečky délek b,c, tak aby čísla a,b,c,d byla v úměře o čtyřech členech. Tento úkol však nikdo z nich nebyl schopen vyřešit. Proto se rozhodli, že zajistí, aby problém vešel ve všeobecnou známost, a doufali, že ho někdo jiný vyřeší za ně. Protože však pythagorejský řád byl velmi uzavřený a přísně střežil svá tajemství, nechtěli pythagorejci prozradit světu, že se zajímají právě o úměru o čtyřech členech. Z tohoto důvodu uvažovali takto. Rozumně předpokládali, že podaří-li se vyřešit tento problém pro a=1, d=2, nebude již zobecnění příliš složitou záležitostí. Pythagorejcům bylo rovněž známo, že jsou-li délky čtyř úseček v úměře o čtyřech členech, pak jsou v této úměře i objemy krychlí nad těmito úsečkami, a naopak. Pro a=1, d=2 jsou objemy nejmenší resp. největší krychle rovny 1 resp. 8. Doplnit mezi tato dvě čísla zbývající dvě tak, aby tvořily úměru o čtyřech členech, je snadné - těmito čísly jsou 2 a 4. Podle výše řečeného tedy délky hran krychlí o objemech 1,2,4,8 tvoří úměru o čtyřech členech. Podařilo-li by se sestrojit hranu krychle o objemu 2, nebylo by již sestrojení hrany krychle o objemu 4 problémem. Tedy vše, co pythagorejci potřebovali, bylo k dané krychli o hraně jedna sestrojit hranu krychle s dvojnásobným objemem. Tento úkol byl již natolik odlišný od původního, že nikdo (ani ten, kdo by ho vyřešil) nemohl poznat, o co pythagorejcům ve skutečnosti jde. Takto zašifrovaný problém tedy vypustili do světa.

Když občané Athén, jejichž město bylo postiženo morem, vyslali roku 430 př. n. l. poselstvo do Apollónova oraklea na ostrově Délos, aby získalo radu, jak řádění moru ukončit, orakleum ovlivněné pythagorejci odpovědělo, že Athéňané musí zdvojnásobit velikost svého krychlového oltáře. Žádný z athénských učenců však nebyl schopen určit, jak dlouhá má být hrana nového oltáře, a tak mor řádil ještě po dlouhou dobu. Úloha, jejíž řešení pythagorejci tak toužili znát, však byla vypuštěna do světa a podle místa, na němž se její zadání Athéňané dozvěděli, obdržela název délský problém.

Skutečnost

Již ve starověku a po celý středověk a renesanci se největší učenci své doby pokoušeli problém zdvojení krychle vyřešit. Až v 19. století Pierre Wantzel užitím nových výsledků algebry dokázal, že úlohu zdvojení krychle nelze pouze za použití pravítka a kružítka provést.

Důkaz neřešitelnosti

Důkaz nemožnosti provést požadovanou konstrukci sestává ze dvou nezávislých částí, z nichž první je obdobná pro důkazy neřešitelnosti všech tří klasických problémů:

1. ověření, že lze zkonstruovat jen ty délky (vzdálenosti), které jsou algebraickým číslem stupně (nad tělesem racionálních čísel) mocniny dvou
2. ověření, že délka hrany krychle o objemu dvojnásobném oproti objemu krychle s hranou délky jedna je algebraické číslo stupně tři

Tyto dva kroky nyní provedeme odděleně.

Konstruovatelné délky

Za konstruovatelnou délku (resp. souřadnici) označíme takovou délku (resp. souřadnici), kterou lze zkonstruovat z dané jednotkové úsečky a daného počátku pouze pomocí pravítka a kružítka. Velmi snadno ověříme, že každá racionální délka (souřadnice) je konstruovatelná. Indukcí podle počtu kroků nejkratší konstrukce ověříme, že každá konstruovatelná souřadnice (jak x-ová, tak y-ová) je algebraické číslo stupně mocniny dvou. Nechť je tedy dána konstruovatelná souřadnice s a nechť

• její nejkratší konstrukce (přesněji konstrukce bodu majícího tuto souřadnici) má 0 kroků
  • Pak s může být pouze souřadnice koncového bodu jednotkové úsečky nebo počátku (tj. s=1 nebo s=0), což je v obou případech algebraické číslo stupně 1=2⁰.
• její nejkratší konstrukce má n+1 kroků, přičemž víme, že všechny souřadnice, které lze zkonstruovat v méně než n+1 krocích jsou algebraické stupně mocniny dvou
  • Proveďme nyní prvních n kroků oné n+1 krokové konstrukce souřadnice s. Označme T těleso generované všemi dosud zkonstruovanými souřadnicemi a jeho stupeň nad tělesem Q všech racionálních čísel (délek) označme [T:Q]. Protože T vzniklo postupným rozšiřováním Q o souřadnice konstruované v prvních n krocích, je [T:Q] mocnina dvou (snadnou aplikací indukčního předpokladu). Dále určíme stupeň [T[s]:T], kde T[s] je těleso generované prvky T a souřadnicí s. Víme (z definice T), že souřadnici s lze zkonstruovat v jediném kroku ze souřadnic obsažených v tělese T. Souřadnice s tedy může být souřadnicí bodu,
    • který již byl zkonstruován v prvních n krocích
      • Pak s je prvkem T a tedy [T[s]:T]=1.
    • který vznikl protnutím dvou úseček v (n+1)-ním kroku
      • Pak s je jednou ze složek řešení soustavy lineárních rovnic y=ax+b, y=cx+d, kde první a druhá rovnice popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní body těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních n krocích, jsou jejich souřadnice a v důsledku i koeficienty a,b,c,d prvky T. Proto i obě složky řešení (x,y) jsou v T, a tedy opět [T[s]:T]=1.
    • který vznikl protnutím úsečky a kružnice v (n+1)-ním kroku
      • Pak s je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické soustavy rovnic y=ax+b, (x-c)²+(y-d)²=r², kde první (resp. druhá) rovnice popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou a,b,c,d prvky T, a protože čtverec vzdálenosti každých dvou bodů se souřadnicemi z T leží rovněž v T, je i r² v T. Vyjádřením řešení (x,y) zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese \(T[\sqrt{q}]\), kde q je vhodný prvek T. Protože zřejmě \([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2\) a podle obecné teorie algebraických rozšíření dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně [T[s]:T]=1 nebo 2.
    • který vznikl protnutím dvou kružnic v (n+1)-ním kroku
      • Pak s je jednou ze složek řešení soustavy kvadratických rovnic (x-a)²+(y-b)²=r², (x-c)²+(y-d)²=t², kde první a druhá rovnice popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou a,b,c,d,r,t prvky T. Opět vyjádřením řešení (x,y) zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese \(T[\sqrt{q}]\), kde q je vhodný prvek T. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že [T[s]:T]=1 nebo 2.
  • Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy [T[s]:T]=1 nebo 2. Protože z předchozího víme, že [T:Q] je mocnina dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že [T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q] je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň s nad Q je roven [T[s]:Q], tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.

Dále zřejmě každá konstruovatelná délka je vzdáleností dvou bodů s konstruovatelnými souřadnicemi, a tedy její čtverec je prvkem tělesa generovaného konečně mnoha konstruovatelnými souřadnicemi. Proto čtverec konstruovatelné vzdálenosti má stupeň mocniny dvou nad Q. Opět z věty o multiplikativitě stupňů rozšíření plyne, že i daná vzdálenost má stupeň mocniny dvou nad Q.

2^1/3 je stupně 3 nad Q

Délkou hrany krychle o objemu 2 je číslo L=2^1/3. Dokážeme, že tato délka je algebraické číslo stupně 3 nad Q. Zřejmě L je kořenem polynomu t³-2. Pokud by tento polynom byl reducibilní, měl by faktor stupně jedna, a tedy racionální kořen. Podle věty o racionálních kořenech (je-li p/q kořenem polynomu P, pak q dělí vedoucí koeficient P a p jeho absolutní člen) by tento kořen byl jedno z čísel 2,1,-1,-2, což evidentně nemůže být. Proto polynom t³-2 je minimálním polynomem délky L, a tedy L je stupně tři nad Q. Tím je důkaz dokončen.

Související články

• trisekce úhlu
• kvadratura kruhu