V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Centrální moment

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
m (Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“)
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze.)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Centrální moment|700}}
+
'''Centrální moment''' je pojem z [[matematická statistika|matematické statistiky]]. Pro [[přirozené číslo]] <big>\(k\)</big> je k-tý centrální moment jisté [[reálné číslo]]  charakterizující [[rozdělení pravděpodobnosti|rozdělení]] [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]].
 +
''K''-tý centrální moment se označuje  <big>\(\mu_k\)</big>.
 +
== Definice ==
 +
 +
''K''-tý centrální moment náhodné veličiny <big>\(X\)</big> je definován vzorcem
 +
 +
:<big>\(\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(\mu\)</big> je [[střední hodnota]] dané veličiny (pokud má vzorec smysl).
 +
 +
Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát
 +
 +
:<big>\(\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(p_i\)</big> je [[pravděpodobnost]], že <big>\(X\)</big> nabývá hodnoty <big>\(x_i\)</big>.
 +
 +
Pro spojité náhodné veličiny na [[Reálné číslo|reálných číslech]] lze psát
 +
 +
:<big>\(\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(f(x)\)</big> je [[Hustota rozdělení pravděpodobnosti|hustota rozdělení]] dané veličiny.
 +
 +
=== Označení centrálních momentů ===
 +
 +
První centrální moment je vždy roven 0.
 +
 +
Druhý centrální moment se nazývá [[rozptyl (statistika)|rozptyl]] a označuje se symbolem <big>\(\sigma^2\)</big> nebo <big>\(\operatorname{var}\,X\)</big>.
 +
 +
Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice [[Koeficient šikmosti|šikmosti]] a [[Koeficient špičatosti|špičatosti]].
 +
 +
== Vlastnosti ==
 +
 +
Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.
 +
 +
:<big>\(\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)\)</big>
 +
 +
Pro násobení konstantou platí
 +
 +
:<big>\(\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)\)</big>
 +
 +
Pro <big>\(k\leq 3\)</big> a nezávislé náhodné veličiny <big>\(X, Y\)</big> platí
 +
 +
:<big>\(\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)\)</big>
 +
 +
Mezi centrálními momenty a [[Obecný moment|obecnými momenty]] je vztah
 +
 +
:<big>\(\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime\)</big>,
 +
 +
kde <big>\(\mu\)</big> je střední hodnota a <big>\(\mu_i^\prime\)</big> je ''i''-tý obecný moment.
 +
 +
== Výběrový centrální moment ==
 +
 +
'''Výběrový centrální moment''' je definován vzorcem
 +
 +
<big>\( m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k \)</big>
 +
 +
Výběrový centrální moment je [[nevyvážený]] odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:
 +
 +
* <big>\(M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)</big>
 +
* <big>\(M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3\)</big>
 +
* <big>\(M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2\)</big>
 +
 +
== Reference ==
 +
<references/>
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Statistika]]

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Centrální moment je pojem z matematické statistiky. Pro přirozené číslo \(k\) je k-tý centrální moment jisté reálné číslo charakterizující rozdělení náhodné veličiny. K-tý centrální moment se označuje \(\mu_k\).

Obsah

Definice

K-tý centrální moment náhodné veličiny \(X\) je definován vzorcem

\(\mu_k = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^k\right]\),

kde \(\mu\) je střední hodnota dané veličiny (pokud má vzorec smysl).

Pro diskrétní náhodné veličiny lze psát

\(\mu_k = \sum_{i=1}^\infty(x_i - \mu)^kp_i\),

kde \(p_i\) je pravděpodobnost, že \(X\) nabývá hodnoty \(x_i\).

Pro spojité náhodné veličiny na reálných číslech lze psát

\(\mu_k = \int_{-\infty}^\infty (x-\mu)^kf(x)\operatorname{d}x\),

kde \(f(x)\) je hustota rozdělení dané veličiny.

Označení centrálních momentů

První centrální moment je vždy roven 0.

Druhý centrální moment se nazývá rozptyl a označuje se symbolem \(\sigma^2\) nebo \(\operatorname{var}\,X\).

Třetí a čtvrtý centrální moment jsou součástí definice šikmosti a špičatosti.

Vlastnosti

Centrální moment je nezávislý na posunu o konstantu, tj.

\(\mu_k\left(X+c\right) = \mu_k(X)\)

Pro násobení konstantou platí

\(\mu_k\left(cX\right) = c^k\mu_k(X)\)

Pro \(k\leq 3\) a nezávislé náhodné veličiny \(X, Y\) platí

\(\mu_k\left(X+Y\right) = \mu_k(X) + \mu_k(Y)\)

Mezi centrálními momenty a obecnými momenty je vztah

\(\mu_k = \sum_{i=0}^k\binom{k}{i}(-1)^{k-i}\mu^{k-i}\mu_i^\prime\),

kde \(\mu\) je střední hodnota a \(\mu_i^\prime\) je i-tý obecný moment.

Výběrový centrální moment

Výběrový centrální moment je definován vzorcem

\( m_k = \frac1n\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^k \)

Výběrový centrální moment je nevyvážený odhad centrálního momentu, vyvážené odhady jsou:

  • \(M_2 &= \frac{n}{n-1}k_2 = \frac1{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2\)
  • \(M_3 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)}m_3\)
  • \(M_4 &= \frac{n^2}{(n-1)(n-2)(n-3)}(n+1)m_4 - 3(n-1)m_2^2\)

Reference


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Centr%C3%A1ln%C3%AD_moment“