Eisensteinovo číslo

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Trojúhelníková mříž Eisensteinových celých čísel v komplexní rovině

V matematice se jako Eisensteinova čísla, pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi (1823 – 1852), označují komplexní čísla tvaru

\(z = a + b\omega \,\!\)

kde a a b jsou celá čísla a

\(\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}\)

je (komplexní) třetí odmocnina z jedné. Podobně jako Gaussova čísla tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o okruh celistvých čísel číselného tělesa \(\mathbb{Q}\left(\mathrm i\sqrt{3}\right)\).

Dělitelnost

Na Eisensteinových číslech lze zavést dělitelnost stejně jako na celých číslech: \(x\) dělí \(y\) právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo \(z\) splňující \(y=zx\). To umožňuje převést z celých čísel i koncept prvočíselnosti, a mluvit o Eisensteinových prvočíslech.

Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest jednotek {±1, ±ω, ±ω²}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo \(z\), které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky \(uz\), kde \(u\) je nějaká z jednotek.

Eisensteinova čísla tvoří komutativní okruh. Ten je dokonce eukleidovský, za eukleidovskou funkci je možno zvolit

\(N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. \,\!\)

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 V [[matematika|matematice]] se jako '''Eisensteinova čísla''', pojmenovaná po Ferdinandu Eisensteinovi (1823 – 1852), označují [[komplexní číslo|komplexní čísla]] tvaru
-:<math>z = a + b\omega \,\!</math>
+:<big>\(z = a + b\omega \,\!\)</big>
 kde ''a'' a ''b'' jsou [[celé číslo|celá čísla]] a
-:<math>\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}</math>
+:<big>\(\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}\)</big>
-je (komplexní) [[třetí odmocnina z jedné]]. Podobně jako [[Gaussovo číslo|Gaussova čísla]] tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o [[okruh celistvých čísel]] [[číselné těleso|číselného tělesa]] <math>\mathbb{Q}\left(\mathrm i\sqrt{3}\right)</math>.
+je (komplexní) [[třetí odmocnina z jedné]]. Podobně jako [[Gaussovo číslo|Gaussova čísla]] tvoří čtvercovou mříž, tvoří Eisensteinova čísla trojúhelníkovou mříž. Jedná se o [[okruh celistvých čísel]] [[číselné těleso|číselného tělesa]] <big>\(\mathbb{Q}\left(\mathrm i\sqrt{3}\right)\)</big>.
 == Dělitelnost ==
-Na Eisensteinových číslech lze zavést [[dělitelnost]] stejně jako na celých číslech: <math>x</math> dělí <math>y</math> právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo <math>z</math> splňující <math>y=zx</math>. To umožňuje převést z celých čísel i koncept [[prvočíselnost]]i, a mluvit o [[Eisensteinův prvočinitel|Eisensteinových prvočíslech]].
+Na Eisensteinových číslech lze zavést [[dělitelnost]] stejně jako na celých číslech: <big>\(x\)</big> dělí <big>\(y\)</big> právě tehdy, existuje-li Eisensteinovo číslo <big>\(z\)</big> splňující <big>\(y=zx\)</big>. To umožňuje převést z celých čísel i koncept [[prvočíselnost]]i, a mluvit o [[Eisensteinův prvočinitel|Eisensteinových prvočíslech]].
-Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest [[jednotkový prvek|jednotek]] {±1, ±ω, ±ω<sup>2</sup>}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo <math>z</math>, které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky <math>uz</math>, kde <math>u</math> je nějaká z jednotek.
+Mezi Eisensteinovými čísly je celkem šest [[jednotkový prvek|jednotek]] {±1, ±ω, ±ω<sup>2</sup>}, za Eisensteinova prvočíslo je tedy považováno každé takové Eisensteinovo číslo <big>\(z\)</big>, které lze dělit pouze pouze jednotkami a prvky <big>\(uz\)</big>, kde <big>\(u\)</big> je nějaká z jednotek.
 Eisensteinova čísla tvoří [[komutativní okruh]]. Ten je dokonce [[eukleidovský obor|eukleidovský]], za eukleidovskou funkci je možno zvolit
-:<math>N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!</math>
+:<big>\(N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!\)</big>