Hölderova nerovnost

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Hölderova nerovnost je důležitou nerovností v matematické analýze, významnou zejména při zkoumání L^p prostorů.

Obsah

1 Znění
2 Důležité speciální případy
- 2.1 Aritmetická míra
- 2.2 L^p prostory
3 Důkaz

Znění

Na prostoru s mírou \((X, \Sigma, \mu)\) mějme μ-měřitelné funkce \(f, g\) na \(X\). Dále nechť existují čísla \(1 \le p, q \le \infty\), taková, že: \(1/p + 1/q = 1\). Pak platí:

\(\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q\).

Důležité speciální případy

Pro následující případy předpokládejme, že \(1 < p,q < \infty\) a \(1/p+1/q = 1\).

Aritmetická míra

V případě \(n\)-rozměrného Eukleidovského prostoru \(a_k, b_k \in \mathbb{C}^n\), s množinou \( X = \{1, ..., n\}\) a \(\mu\) aritmetickou mírou dostáváme:

\(\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}\).

Rovnost nastává, právě když \(|b_k|=c|a_k|^{p-1}\).

L^p prostory

Pokud \(f \in L^p(X), g \in L^q(X)\), tak \(f \cdot g \in L^1(X)\) a navíc:

\(\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}\)

Pro \(p = q = 2\) pak dostáváme Cauchyho–Schwarzovu nerovnost, Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.

Důkaz

Je důsledkem Youngovy nerovnosti, která se dá formulovat i takto: Pro všechna reálná čísla r, s a \(x\in<0,1>\) platí \(xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}\).
Rovnost nastává, právě když r=s nebo \(x\in\{0,1\}\). Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 == Znění ==
-Na [[Prostor s mírou|prostoru s mírou]] <math>(X, \Sigma, \mu)</math> mějme μ-měřitelné funkce <math>f, g</math> na <math>X</math>. Dále nechť existují čísla <math>1 \le p, q \le \infty</math>, taková, že: <math>1/p + 1/q = 1</math>. Pak platí:
+Na [[Prostor s mírou|prostoru s mírou]] <big>\((X, \Sigma, \mu)\)</big> mějme μ-měřitelné funkce <big>\(f, g\)</big> na <big>\(X\)</big>. Dále nechť existují čísla <big>\(1 \le p, q \le \infty\)</big>, taková, že: <big>\(1/p + 1/q = 1\)</big>. Pak platí:
-:<math>\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q</math>.
+:<big>\(\|f \cdot g \|_1 \le \|f\|_p \cdot \|g\|_q\)</big>.
 == Důležité speciální případy ==
-Pro následující případy předpokládejme, že <math>1 < p,q < \infty</math> a <math>1/p+1/q = 1</math>.
+Pro následující případy předpokládejme, že <big>\(1 < p,q < \infty\)</big> a <big>\(1/p+1/q = 1\)</big>.
 === Aritmetická míra ===
-V případě <math>n</math>-rozměrného [[Eukleidovský prostor|Eukleidovského prostoru]] <math>a_k, b_k \in \mathbb{C}^n</math>, s množinou <math> X = \{1, ..., n\}</math> a <math>\mu</math> [[Aritmetická míra|aritmetickou mírou]] dostáváme:
+V případě <big>\(n\)</big>-rozměrného [[Eukleidovský prostor|Eukleidovského prostoru]] <big>\(a_k, b_k \in \mathbb{C}^n\)</big>, s množinou <big>\( X = \{1, ..., n\}\)</big> a <big>\(\mu\)</big> [[Aritmetická míra|aritmetickou mírou]] dostáváme:
-:<math>\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}</math>.
+:<big>\(\sum_{k=1}^n|a_kb_k|\leq\left(\sum_{k=1}^n|a_k|^p\right)^{1/p} \left(\sum_{k=1}^n|b_k|^q\right)^{1/q}\)</big>.
-Rovnost nastává, právě když <math>|b_k|=c|a_k|^{p-1}</math>.
+Rovnost nastává, právě když <big>\(|b_k|=c|a_k|^{p-1}\)</big>.
 === L<sup>p</sup> prostory ===
-Pokud <math>f \in L^p(X), g \in L^q(X)</math>, tak <math>f \cdot g \in L^1(X)</math> a navíc:
+Pokud <big>\(f \in L^p(X), g \in L^q(X)\)</big>, tak <big>\(f \cdot g \in L^1(X)\)</big> a navíc:
-:<math>\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}</math>
+:<big>\(\int_X |f \cdot g | \, \mathrm{d} \mu \le \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p} \cdot \left(\int_X |g|^q \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/q}\)</big>
-Pro <math>p = q = 2</math> pak dostáváme [[Cauchyho–Schwarzova nerovnost|Cauchyho–Schwarzovu nerovnost]], Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
+Pro <big>\(p = q = 2\)</big> pak dostáváme [[Cauchyho–Schwarzova nerovnost|Cauchyho–Schwarzovu nerovnost]], Hölderova nerovnost je tedy jejím zobecněním.
 == Důkaz ==
 Je důsledkem [[Youngova nerovnost|Youngovy nerovnosti]], která se dá formulovat i takto:
-Pro všechna reálná čísla r, s a <math>x\in<0,1></math> platí
+Pro všechna reálná čísla r, s a <big>\(x\in<0,1>\)</big> platí
-<math>xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}</math>.<br />Rovnost nastává, právě když r=s nebo <math>x\in\{0,1\}</math>. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.
+<big>\(xr+(1-x)s\geq r^xs^{1-x}\)</big>.<br />Rovnost nastává, právě když r=s nebo <big>\(x\in\{0,1\}\)</big>. Sečtením těchto nerovností dostaneme požadovanou Hölderovu nerovnost.