V sobotu 2. listopadu proběhla mohutná oslava naší plnoletosti !!
Multimediaexpo.cz je již 18 let na českém internetu !!

Kořen (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)
m (1 revizi)
(+ Masivní vylepšení)
Řádka 1: Řádka 1:
-
{{Wikipedia-cs|Kořen (matematika)|700}}
+
'''Kořenem''' [[funkce (matematika)|funkce]] ''f'' se v [[matematika|matematice]] nazývá takový prvek ''a'' z [[definiční obor|definičního oboru]] ''f'', v němž ''f'' nabývá [[nula|nulové]] hodnoty.
 +
Přesněji kořenem je každé ''a'' splňující [[rovnice|rovnici]] ''f''(''a'') = 0. Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor ''f'' [[podmnožina|podmnožinou]] [[komplexní číslo|komplexních]] resp. [[reálné číslo|reálných čísel]], je kořen bod, v němž [[graf funkce]] ''f'' protíná [[komplexní rovina|komplexní rovinu]] resp. [[osa|osu]] ''x''.
 +
 +
== Kořen polynomu ==
 +
[[Polynom]] jedné proměnné stupně ''n'' s [[komplexní číslo|komplexními]] koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše ''n'' různých komplexních kořenů. Je-li totiž ''a'' kořenem polynomu ''P''(''x''), pak (''x'' − ''a'') dělí ''P''(''x''), a tedy ''P(x)/(x-a)'' je polynom stupně ''n-1''.
 +
 +
Podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]] má každý polynom jedné proměnné stupně ''n'' s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě ''n'' kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom <math>x^2+1</math> nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla <math>\pm i</math>).
 +
 +
=== Metody výpočtu ===
 +
==== Přímo ====
 +
* Je-li <math>P(x)</math> lineární polynom (tedy <math>P(x) = ax + b</math>, kde <math>a \neq 0</math> a <math>b</math> jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo <math>x_0=-\frac{b}{a}</math>
 +
* Jde-li o [[kvadratická rovnice|kvadratický polynom]] (<math>P(x) = ax^2 + bx + c</math>), pak existují obecně dva kořeny <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>.
 +
* Pro výpočet kořenů [[Kubická rovnice|kubického polynomu]] existují např. [[Cardanovy vzorce]].
 +
 +
==== Aproximací ====
 +
Najdeme-li dva body <math>x_1</math> a <math>x_2</math>, pro které platí <math>\sgn(P(x_1)) = -\sgn(P(x_2))</math> kde <math>\sgn</math> značí znaménkovou funkci [[Funkce signum|signum]] (jinak řečeno <math>P(x_1)P(x_2)<0</math>), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu <math>(x_1,x_2)</math> (viz [[Bolzanova věta]]). Tento kořen lze najít metodou [[půlení intervalů]] nebo [[Metoda tečen|metodou tečen]]
 +
 +
== Příklady ==
 +
* Kořenem funkce (polynomu) <math>f(x) = x^2 + 6x + 9</math> je číslo −3, protože ''f''(-3) = 0.<br />Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na <math>(x + 3)^2</math>.
 +
* Funkce <math>f(x) = e^x</math> (viz [[Eulerovo číslo]]) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
 +
* Funkce <math>f(x) = sin (x)</math> (viz [[sinus]]) má [[nekonečná množina|nekonečně]] mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru ''kπ'', kde ''π'' je [[Pí (číslo)|Ludolfovo číslo]] a ''k'' libovolné [[celé číslo]].
 +
 +
== Související články ==
 +
* [[Rovnice]]
 +
* [[Funkce (matematika)|Funkce]]
 +
 +
 +
{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Rovnice|*]]
[[Kategorie:Rovnice|*]]
[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[Kategorie:Matematická analýza]]

Verze z 8. 8. 2014, 15:00

Kořenem funkce f se v matematice nazývá takový prvek a z definičního oboru f, v němž f nabývá nulové hodnoty.

Přesněji kořenem je každé a splňující rovnici f(a) = 0. Pro nejběžnější případ, kdy je definiční obor f podmnožinou komplexních resp. reálných čísel, je kořen bod, v němž graf funkce f protíná komplexní rovinu resp. osu x.

Obsah

Kořen polynomu

Polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty chápaný jako funkce může mít nejvýše n různých komplexních kořenů. Je-li totiž a kořenem polynomu P(x), pak (x − a) dělí P(x), a tedy P(x)/(x-a) je polynom stupně n-1.

Podle základní věty algebry má každý polynom jedné proměnné stupně n s komplexními koeficienty v komplexních číslech právě n kořenů, je-li každý počítán ve své násobnosti. Uvažujeme-li polynom nad reálnými čísly, pak tato situace nemusí obecně platit - např. polynom <math>x^2+1</math> nemá v reálných číslech kořen (kořeny polynomu jsou komplexní čísla <math>\pm i</math>).

Metody výpočtu

Přímo

  • Je-li <math>P(x)</math> lineární polynom (tedy <math>P(x) = ax + b</math>, kde <math>a \neq 0</math> a <math>b</math> jsou reálná nebo komplexní čísla), pak jeho kořenem je číslo <math>x_0=-\frac{b}{a}</math>
  • Jde-li o kvadratický polynom (<math>P(x) = ax^2 + bx + c</math>), pak existují obecně dva kořeny <math>x_{1,2} = \frac{-b \pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>.
  • Pro výpočet kořenů kubického polynomu existují např. Cardanovy vzorce.

Aproximací

Najdeme-li dva body <math>x_1</math> a <math>x_2</math>, pro které platí <math>\sgn(P(x_1)) = -\sgn(P(x_2))</math> kde <math>\sgn</math> značí znaménkovou funkci signum (jinak řečeno <math>P(x_1)P(x_2)<0</math>), pak existuje alespoň jeden kořen v intervalu <math>(x_1,x_2)</math> (viz Bolzanova věta). Tento kořen lze najít metodou půlení intervalů nebo metodou tečen

Příklady

  • Kořenem funkce (polynomu) <math>f(x) = x^2 + 6x + 9</math> je číslo −3, protože f(-3) = 0.
    Jiné kořeny tato funkce nemá – to se zjistí snadno rozkladem na <math>(x + 3)^2</math>.
  • Funkce <math>f(x) = e^x</math> (viz Eulerovo číslo) nemá v reálných ani komplexních číslech kořen.
  • Funkce <math>f(x) = sin (x)</math> (viz sinus) má nekonečně mnoho kořenů, a to právě čísla tvaru kπ, kde π je Ludolfovo číslo a k libovolné celé číslo.

Související články


Citováno z „http://ww2000w.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Ko%C5%99en_(matematika)“